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1、第4章 频率域图像增强4.1 引言 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.3 平滑的频率域滤波器 4.4 锐化的频率域滤波器 4.5 同态滤波器4.1 引言频率通常是指某个一维物理量随时间变化的快慢 程度的度量。频率值高意味着该物理量随时间变化 快；频率值低意味着该物理量随时间变化慢。例如 交流电频率为5060Hz（交流电压） 中波某电台1026千赫（无线电波）图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐 标轴，所以图像本身所在的域称为空间域 （space domain）。图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来 度量，称为空间频率（spatial frequency）。一维（连续）傅立叶 变换 傅立
2、叶变换是一种数 学变换（正交变换） ，可以把一维信号（ 或函数）分解成不同 幅度的具有不同频率 的正弦和余弦信号（ 或函数）。傅立叶变换滤波利用傅立叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带 通处理），然后再反变换成时间信号，即可 完成对信号的滤波。低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换 4.2.2 二维DFT 4.2.3 频率域滤波 4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的 关系4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换条件：如果实变量函数 是连续可积的，即一维连续傅立叶变换一
3、维离散傅立叶变换用N个等间隔抽样方法将连续函数f(x)离散成序列离散傅立叶变换用F(u)来表示F(uu)，用f(x)来表示f(xx)且u=1/(N x)一维函数的傅立叶谱二维连续函数 的傅立叶变换： 傅立叶变换的相角、傅立叶谱和能量谱或功率谱可由下式给出：4.2.2 二维DFT二维离散傅立叶变换：M,N表示图像 在x，y方向上具有大小不同的阵列。 离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：二维离散傅立叶变换性质1、可分离性 2、周期性 3、频率位移特性 ：图像中心化 先将f(x, y)乘以因子(1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M2, N2）处。傅立叶频
4、谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱 (a) (b) (c) 傅立叶频谱中心化4、共轭对称性 或 ：-N/2N/2一个周期频谱是关于原点 对称的5、旋转不变性 例：旋转不变性如果时域中离散函数旋转0角度，则该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。 离散傅立叶变换的旋转不变性 （a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱 (a)(b)(d)(c)6、平均值7、离散卷积定理 为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域 加以扩展卷积的概念当卷积周期 才避免交叠误差 8、离散相关定理
5、 9、分配性和比例性二维函数的中心谱v例程 function zxft(I) %显示频谱函数imshow(I) %显示原图像f1=fft2(double(I); %离散傅立叶变换f2=fftshift(f1); %直流分量移到频谱中 心r=real(f2);i=imag(f2);a=sqrt(r2+i2); %计算频谱b=255*(a- min(min(a)/(max(max(a)- min(min(a); %归一化figure;imshow(b); %显示频谱 在MATLAB命令窗口下显示图像频谱 a=imread(cameraman.tif); zxft(a)低频分量：对应图像的慢变化 分
6、量较高的频率：对应图像中变化 较快的灰度级分量（如物体边 缘和噪声等）图像的频谱4.2.3 频率域滤波频域滤波的基本步骤陷波滤波器4.2.4 空域滤波和频域滤波之间的关系空间域滤波卷积运算频率域乘法运算空间域和频率域中的滤波器组成了傅立叶变换对频率域”实验室”v在频域指定滤波器，做 反变换，确定空间滤波 器模板的基本形状v例：高斯低通滤波器例：高斯低通滤波器频域：G(u,v) = H(u,v) F(u,v) 其中： F(u,v)：原始图象Fourier频谱G(u,v)：平滑后图象的Fourier频谱H(u,v)：滤波器转移函数（即频谱）H（u,v）函数的定义，方法很多，没有唯一通用办 法，针对
7、具体情况选用不同方法。 FFTH(u,v )IFFTf(x,y)F(u,v )G(u,v )g(x,y )4.3 平滑的频率域滤波器4.3.1 理想低通滤波器理想低通滤波器H(u,v) = H(u,v) = 1 1 当当D(u,v) DD(u,v) D0 0其中：其中：D(u,v)D(u,v)(u(u2 2+v+v2 2) )1/21/2是点是点( (u,v)u,v)到频率平面原点的距离到频率平面原点的距离负效负效：图象模糊，出现振铃效果：图象模糊，出现振铃效果H(u,v )D(u,v) D0理想低通滤波效果（截止频率变化）振铃现象n n4.3.2 4.3.2 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤
8、波器它的带通与带阻之间无明显的不连续性，因此无振铃现象，模糊程度减 少，它的尾部有较多的高频，通过下降它的截至频率达到一些平滑效果截止频率变化对滤波的影响具有较平滑的过渡带，无振铃现象n n4.3.3 4.3.3 高斯低通滤波器高斯低通滤波器4.3.4 低通滤波的其他例子4.4 锐化的频率域滤波器高通滤波器4.4.1 理想高通滤波器4.4.2 巴特沃斯高通滤波器n n4.4.3 4.4.3 高斯高通滤波器高斯高通滤波器4.4.4 频率域的拉普拉斯算子频域的拉普拉斯滤波4.4.5 钝化模板和高频提升滤波(a)输入图像(b)拉普拉斯图像(c)A=2(d) A=2.7高频加强滤波(a)输入图像(b)
9、巴特沃思高通 滤波(c)高频加强滤波(d) 对(c) 进行直 方图均衡处理4.5 图像的同态滤波n n作用作用: :消除图像上照明不均的问题，增加暗区的图像细节，同时消除图像上照明不均的问题，增加暗区的图像细节，同时 又不损失亮区的图像细节，它在频域中同时将图像亮度范围进行又不损失亮区的图像细节，它在频域中同时将图像亮度范围进行 压缩和将图像对比度进行增强压缩和将图像对比度进行增强成像物理背景：因为人眼对图象亮度响应具有类似于对数运算 的非线性形式。f(x, y) = I(x, y) R(x, y)其中： I(x, y)：照射分量（低频）R(x, y)：反射分量（高频）图象细节的不同在空间作
10、快速变化 分析：分析：关心反射信息，但室内外关心反射信息，但室内外照射分量照射分量强度不同，图片明暗不均强度不同，图片明暗不均 ，能否消除照度不均，而增强反射部分比重。，能否消除照度不均，而增强反射部分比重。过程：过程：f(x,y)lnFFTH(u,v) 高频增强FFT-1expg(x,y)f(x,y)=i(x,y)r(x,y)i(x,y)照射分量,低频区 r(x,y)反射分量，反映图像的细节分量，处于高频区StepStep：（1 1）z(x,y) = z(x,y) = lnln f(x,y) = f(x,y) = lnI(x,ylnI(x,y) + ) + lnR(x,ylnR(x,y) )
11、 把频谱分开把频谱分开（2 2）Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) 傅立叶变换傅立叶变换（3 3）S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) H(u,v) S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) H(u,v) （同态滤波函数）处理同态滤波函数）处理Z(u,v) Z(u,v) （4 4）s(x,y) = Fs(x,y) = F-1-1S(u,v) = i(x,y) + r(x,y)S(u,v) = i(x,y) + r(x,y)（5 5）g(x,y) = exp s(x,y) = exp i(x,y) + r(x,y)= ig(x,y) = exp s(x,y) = exp i(x,y) + r(x,y)= i0 0(x,y) r(x,y) r0 0(x,y) (x,y)如果图像照明不均，图像上各部分的亮 度会有起伏，压缩照度分量的灰度范围 或频域上消弱照度分量的频谱分量。因 反射分量反映细节，利用对比度增强这 一分量的对比度或频域上加大反射频谱 成分，使暗区细节增强，并保留亮区图 像细节H(u,v)高通同态滤波处理前 同态滤波处理后（压缩图像的动态范围，增加了图像各部分之间的对比度）
