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1、 四、 小结一、 Fourier变换的概念二、 单位脉冲函数及其Fourier变换三、 非周期函数的频谱1.若函数 f(t) 满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的 连续点处, 有f(t)的Fourier变换记作:F(w)叫做 f (t) 的象函数.一、 Fourier变换的概念F (w)的Fourier逆变换记作:f (t) 叫做 F (w)的象函数F(w)和象原函数 f (t) 构成了一个Fourier变换对.一、 Fourier变换的概念象原函数.2、 Fourier变换的奇偶虚实性质1)F (w)和 f (t)有相同的奇偶性 .2)f (t) 为t 的实值函数的充要条件是F
2、(w)的实部为w的偶函数,虚部为w的奇函数.3)f(t) 为t 的虚值函数的充要条件是F (w)的实部为w的奇函数,虚部为w的偶函数.一、 Fourier变换的概念3.Fourier正弦变换及正弦逆变换:当f(t)为奇函数时 ,Fourier正弦变换一、 Fourier变换的概念Fourier正弦逆变换一、 Fourier变换的概念当 f (t) 为偶函数时 ,Fourier余弦变换一、 Fourier变换的概念Fourier余弦逆变换一、 Fourier变换的概念令则为复平面s上的解析函数,取如图的闭曲线由Cauchy积分定理有:实轴虚轴矩形当 时,有同理,当 时,有即钟形脉冲函数的Four
3、ier变换为2) 钟形脉冲函数的积分表达式积分性质,有由利用奇偶函数的的正弦变换和余弦变换.由正弦变换为余弦变换为在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电 流i(t)、 以q(t)表示上述电路中到时刻t为止通过 导体截面的电荷函数, 则二、单位脉冲函数及其Fourier变换由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的, 从而 在普通导数意义下, q(t)在这一点的导数不存在、二、单位脉冲函数及其Fourier变换如果我们形式地计算这个导数, 则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够
4、表示上述电路的电流强度、 为了 确定这种电路上的电流强度, 必须引进一个新 的函数,这个函数称为 Dirac函数, 简单地记 成d-函数、 二、单位脉冲函数及其Fourier变换对于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足则称 的弱极限为d -函数, 记为d(t).二、单位脉冲函数及其Fourier变换表明d -函数可以看 成一个普通函数序 列的弱极限.二、单位脉冲函数及其Fourier变换d -函数的定义:任何 ，有工程上,常将d -函数称为 单位脉冲函数. 可将d -函数 用一个长度等于1的有向线 段表示, 这个线段的长度表 示d-函数的积分值, 称为d - 函数的强度.二、单位脉冲函数及
5、其Fourier变换1.d -函数的性质:证明:若 为无穷次可微的函数,则有1)筛选性质:二、单位脉冲函数及其Fourier变换由于 为无穷次可微的函数,则f (t)是连 续函数,由积分中值定理,有二、单位脉冲函数及其Fourier变换同理可得2) d -函数的导数若 f(t)为无穷次可微的函数,则有同理可得二、单位脉冲函数及其Fourier变换3) d -函数是偶函数:证明:二、单位脉冲函数及其Fourier变换4) d -函数是单位阶跃函数的导数:称为单位阶跃函数、5) 时间尺度变换性质:其中 为任意正数.二、单位脉冲函数及其Fourier变换6) 卷积性质7) 乘以时间函数的性质其中 为
6、任意常数.为在 处连续的任意函数.二、单位脉冲函数及其Fourier变换1) 的Fourier变换对2.d -函数的Fourier变换二、单位脉冲函数及其Fourier变换可见, 单位脉冲函数d (t)与常数1构成了一个Fourier变换对.2) 的Fourier变换对二、单位脉冲函数及其Fourier变换可见, 与 构成了一个Fourier变换对.二、单位脉冲函数及其Fourier变换证明单位阶跃函数的Fourier变换为则表明 的Fourier变换为求正弦函数的Fourier变换.根据Fourier变换的公式,有三、非周期函数的频谱1.周期函数的频谱对于以 为周期的非正弦函数 ，它的第 次
7、谐波的振幅为其中在复指数形式中，第 次谐波且三、非周期函数的频谱对于以 为周期的非正弦函数 ，它的第 次谐波的振幅为各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图的概念： 频率和振幅的关系图.频谱的图形是不连续的，故称为离散频谱.表明了一个非正弦周期函数包含了哪些频率分量 及各分量占的比重.三、非周期函数的频谱描述了离散频谱的性质：频谱图形关于直线 对称.相交频谱是 的奇函数，即三、非周期函数的频谱2)非周期函数的频谱非周期函数 ,当它满足Fourier积分定理中的条件时,则在 的连续点处可表示为其中为它的Fourier变换.三、非周期函数的频谱在频谱分析中, Fourier变换 称为 的频谱函数
8、,而频谱函数的模 称为 的振 幅频谱.由于 是连续变化的, 因此称为连续频谱.对一个时间函数作 Fourier变换,就是求这个 时间函数的频谱函数.三、非周期函数的频谱非周期函数信号的频谱性质：是 的奇函数，即随 的增大而减小.三、非周期函数的频谱作图中所示单个矩形脉冲的频谱图.根据上面的讨论,单个矩 形脉冲的频谱函数为再根据振幅频谱作出频谱图作指数衰减函数 的频谱图.由得因此作出频谱图:作单位脉冲函数 的频谱图.本节学习了接下来学习Fourier变换的定 义,单位脉冲函数的 Fourier变换及非周 期函数的频谱、四、小结Fourier变换的性 质、Fourier变换的定义是什么?存在条件是什么?思考复习四、小结
