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1、1弹性力学弹性力学( (第第1313讲讲) )武汉理工大学工程结构与力学系 翟鹏程 2一、曲梁的纯弯曲3问题及其描述矩形截面曲梁：内半径为 a ，外半径为 b ，在两端受有大小相等而转向相反的弯矩 M 作用（梁的厚度为单位1），O 为曲梁 的曲率中心，两端面间极角为。取曲梁的曲率中心 O 为坐标的原点， 并按图示建立坐标系。由于各截面上弯矩M相同，因而可假定各截面上应力相同， 构成一轴对称问题（对称轴为 z 轴）。应力分量4边界条件 自然满足（1）（2）将应力分量代入，有（a）（b）注：此处为单连体问题， （3）端部：（c）（d）由轴对称问题应力分量式将其代入式（c）5（c）（d）轴对称问题应
2、 力分量式：代入式（c），有代入式（d），有（分部积分）6将其代入，有整理，有（d）（a）（b）联立求解式（a）（b）（d）,可求得：7其中：将其代入应力分量式，有（f）其截面上的应力分布如图：8讨论：（1）（2） 中性轴（ ）距内侧纤维较近，离 外侧较远，中性轴不过截面形心。（3）中性轴与材料力学中比较：关于截面不再成线性分布，而是成双 曲线分布。但在曲率不大时这种影响较小；挤压应力 实际不为零；9曲梁的位移假定：（4-13 ）代入位移分量式（4-13），确定得代回位移分量式（4-13），即得相应的位移分量。这里只给出环向位移：10将上式对变量 r 求导，得由上式可知： 当 一定时，曲梁截面
3、任 意径向线段 dr 转角都相同，即平面 保 持平面。表明：材力中纯弯曲曲梁的平面保持 平面假设是正确的。11问题：图示为带有一微小张角a 缺口的圆环，若将此 圆环焊成一整环，试求此时环内的内力矩 M 。解：要使该圆环焊成一整环，需在两端加上一对平衡 力矩 M 。MM使其产生环向位移为：由两端受力偶作用时的环向位移计算式：由前面系数 B 的计算式：代入应力分量式，可求出圆 环中的装配应力。12将其代入应力分量式将1cm厚钢板卷成直径2m的圆筒，则a=1，b=1.01，最大应力发生在r=1.0处，为：13二、圆盘在匀速转动中的应力与位移14a由问题的几何形状与外力（体力）均对称于轴 O ，因而为
4、轴对称问题。xyOrA等厚度圆盘，半径为 a ，均匀旋转的角速 度为，回转轴为O ，圆盘的密度为，求：圆 盘内的应力与位移。问题的描述圆盘内任一点具有加速度（径向）：圆盘内任一点具有惯性力（径向）：由此可见，该问题为一变体力的问题，体力分量为： 沿 r 方向线性变化的体力所以有：15平衡方程、相容方程与应力函数平衡方程：（a）将上式两边同乘以 r ,有引入函数 ，使得：（b）这里也称 为应力函数。 应力分量计算式（但不是常体力下的应力函数 ）16相容方程： （变形协调方程）轴对称问题的几何方程为：（c）在式（c）中消去位移分量，有： 应变表示的变形协调方程（相容方程）由平面应力情形下的物理方程
5、：（b）代入上式，有再将应力分量式（b）代入，并整理得（d）17（d）两边同除 r2也可简写成：将上式对 r 积分一次，得：两边同乘以 r，并积分，得： 应力函数表示 的相容方程应力函数：18再将应力函数代入应力分量式（b），有（ e）式中：A、B 为任意常数。由定解条件确定。应力分量应力有界条件：对实心圆盘，为保证 r = 0 处应力的有界性，应取：边界条件： 自动满足代入式（e），有axyOrA19（ f）最大应力点位于圆盘的中心：位移分量由几何方程，可得：（ g）最大位移点位于圆盘的边缘：axyOrA20最大位移点位于圆盘的边缘：2. 变厚度圆盘作为自学（一般了解）内容axyOrA21钢材、半径10cm：转速1000rpm：最大应力0.36MPa转速20000rpm：最大应力141MPa22作 业补充题：试求匀速转动的圆环薄板（内、外半径中分别为a、b）的应力和位移。
