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1、博弈论复习2017例1给定博弈矩阵（1）该博弈有没有优势（或上策，或占优）策略均衡？没有（2）找出该博弈的纯策略纳什均衡。（U,L）(D,R)乙LR甲U1，97，7D0，09，1例2计算下列得益矩阵的所有纳什均衡（包括混合策略均衡），并指出哪个是帕 累托上策均衡，哪个是风险上策均衡，为什么？乙L qR 1-q甲U p9，90，8D 1-p8，05，5答：纯策略纳什均衡：(U,L) (D,R)9p=8p+5(1-p) p=5/69q=8q+5(1-q) q=5/6混合策略纳什均衡： 博弈方甲以（5/6,1/6）的概率随机选择U和D，博弈方乙以（ 5/6,1/6 ）的概率随机选择L和R。帕累托上策
2、均衡： (U,L) 。 因为(U,L)的双方得益大于 (D,R)的双方得益。风险上策均衡： (D,R)。因为。例找出下列博弈的颤抖手均衡乙LR甲U10，06，2D10，12，0对于均衡（D，L），如果博弈方2犯错误（即选R）的概率为。博弈方1选D的支付D为10（1）2108博弈方1选U的支付U为10（1）6104U D博弈方1此时就不会再坚持选择D了，因此均衡（D，L）不稳定。同样，对于均衡（U，R ）来说，如果博弈方1犯 错误（即选D）的概率 为。博弈方2选L的支付L为0 （1）博弈方2选R的支付R为2 （1）02（1 ）只要2/3.R L均衡（U，R）稳定。例4求出下列博弈矩阵所有纳什均衡
3、，其中a0乙L a/(a+2)R 2/(a+2)甲U 03，42，2D11，12a，1纯策略纳什均衡：（ U，L） （D, R）混合策略纳什均衡是否存在呢？例5某行业有两个厂商，一个是产量的领导者，一个是产量的追随者。该行业的 需求曲线为pq，q代表行业的总产出。设两个厂商的边际成本为0，领 导者首先选择它的产量，并且知道追随者将观察领导者的选择并根据领导者 的产量随之选择使自己利润最大化的产量。则领导者和追随者将选择的产量 为多少？寡占的斯塔克博格模型:设领导者和追随者的产量分别为q1,q2。q=q1+q2.边际生产成本c1=c2=0。领导者的得益函数：u1=q1p=q1a- (q1+q2)
4、=aq1-q12-q1q2追随者的得益函数：u2=q2p=q2a- (q1+q2)= aq2-q22-q1q2逆推递归法：先分析第二阶段追随者的决策：a-q1-2q2=0；q2=(a-q1)/2领导者知道追随者的决策思路： u1= aq1-q12-q1q2= (aq1-q12)/2 a/2- q1=0 q1=a/2 q2= a/4例6利用逆向归纳法求出下列扩展型博弈的子博弈完美纳什均衡（写出求解过程 ）22（3，0）（， ）（2，0）（4，1）RlUUDD1答：1、该博弈共包括两个子博弈： （1）从博弈方1选择L后的博弈方2第二阶的单人博弈、 （2）从博弈方1选择R后的博弈方2第二阶段的单人博
5、弈 根据逆向归纳法:第二阶段（1）博弈方2选择U得益为0，选择D得益为-2，选择D（2）博弈方二选择U得益为0，选择D得益为1，选择D回到第一阶段 博弈方选择L的得益为3，选择R的得益为4，选择R所以该博弈的子博弈完美纳什均衡为：博弈方1第一阶段选择R，博弈方2 第二阶段选择D，即（4,1）是该博弈的完美纳什均衡。例7在某一范围内有两只雄蛙。如果它们都不鸣叫，则吸引来的雌蛙数量0，即它 们都没有交配的机会；如果有一只雄蛙鸣叫，那么会吸引来1只雌蛙，而鸣叫 的雄蛙获交配的机会为m，0.5ml，但鸣叫者有成本z；如果它们都鸣叫，則 获得交配的机会为P，mP1，此时各有成本z。这样两只雄蛙之间构成下
6、图得 益矩阵代表的博弈。 （P233）雄蛙2鸣叫不鸣雄蛙1鸣叫Pz， Pzmz，1m不鸣1m ，mz0，0例8两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节 目放在前面还是后面,他们决策的不同组合导致收视率如下：如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？如果电视台1先选择，结果有什么?若电视台2先选择呢?如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗? 结果可能是什么？ 电视台2前面后面电视台1前面18，1824，20后面6，2415，15例9双寡头古诺模型，反需求函数为PaQ，其中Qq1q2为市场 总需求，但a有ah和al，厂商1知道a究竟是ah，还是al；而厂商2
7、只 知道aah的概率是，aal的概率是1，两个厂商的成本函数 分别为C1cq1，C2cq2，其中，c是大于0的常数。如果同时选择 产量的话，本博弈的贝叶斯纳什均衡是多少？ 例10求出下列扩展型博弈的完美贝叶斯均衡（写出求解过程） 12L(p)M(1p)UDUD(0,1)(0,2,)(0,0)(2,1)R(1,3)例11假设参与人小张和小王分配10元钱。他们同意最多用3天的时间协 商分配问题。第1天，小张给出一个报价；第2天，小王可以接受 也可以拒绝这个报价，如果他拒绝，他要提出一个新报价；第3天 ，小张提出最终的报价。如果他们不能在3天之内达成协议，那么 ，双方都将一无所获。假定小张和小王的贴
8、现因子分别为和， 求子博弈完美纳什均衡。答：第一天，小张的方案是自己得S1，小王得10-S1。小王接受或不接受，接受则小张和小王的得益分别为S1和10-S1，不接受则进入下一回合。第二天，小王的方案是小张得S2，自己得10-S2。小张接受或不接受，接受则小张和小王的得益分别为 （ 10-S2 ）和 S2。不接受则进入下一回 合。 第三天，小张的方案是自己得S，小王得10-S。此时小王必须接受,小张和小王的得益分别为 2S 和 2（ 10-S）。第二回合，小张的得益 S2= 2S 即S2= S。小王的得益为 （ 10- S ）=10 - S。不会了例12若你正在考虑收购一家公司的1万股股票，卖方
9、的开价是2元/股。 根据经营情况的好坏，该公司股票的价值对于你来说1元/股和5元/ 股两种可能，但只有卖方知道经营情况的真实情况，你所知的只是 两种情况各占50%的可能性。如果在公司经营情况不好时，卖方做 到使你无法识别真实情况的“包装”费用是5万元，问你是否会接受 卖方价格买下这家公司？如果“包装”费用是5千元，你是否会接受 卖方价格买下这家公司？当“包装”费用是5万元时，“包装”是个劣策略，销售2元/股的股票对我来说肯定值5元/ 股。因此，我会卖此股票。即博弈的贝叶斯纳什均衡是：“好”企业“卖”，“坏”企业“ 不卖”，我“买”。当“包装”费用是5千元时，我作“买”的最坏打算，假定“坏”企业
10、会“包装”销售2元/股 的股票。我“买”的期望（净）得益为（0.55+0.51-2）1=1万元； “不买”的期望（ 净）得益为0。因此，我也会卖此股票。此时， “坏”企业也肯定会“包装”销售2元/股的 股票。即博弈的贝叶斯纳什均衡是：“好”企业和“坏”企业都“卖”，我会全“买”。例13在两人分1万元的讨价还价问题中，假设博弈方1风险中性，博弈方 2是风险规避的（u2s2b，b0.8），假设不管谈判是否成功，这1 万元中的2千元必须留给博弈方2，要求这个两人讨价还价问题的纳 什解。例14在破产博弈中，债权人1有债权100万元，债权人2有债权500万元。 若两人都是风险中性的，分别求可清偿资产为1
11、00万、300万和500 万情况下的纳什讨价还价解和K-S讨价还价解。 例15两户居民同时决定是否维护某合用的设施。如果只要有一户人家维护，两户人家就 都能得到1单位好处；没有人维护则两户人家均没有好处。设两户人家维护的成本 不同，分别为c1和c2。 （1）如果假设c1和c2分别是0.1和0.5，该博弈的纳什均衡是什么？博弈结果会如何？ （2）如果c1和c2都是独立均匀分布在0，1上的随机变量，真实水平只有每户人家自 己知道，该博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？一般情况下的得益矩阵 完全信息情况下的得益矩阵居民2提供不提供居民 1提供1c1，1c21c1，1不提供1，1c20，0居民2提供不提供居民1提供0.9，0.50.9，1不提供1，0.50，0例15选择临界值策略：对于居民1来说，如果c1ts=1-t（临界条件相同），或s+t=1。同理，根据居民2的情况，也能推出s+t=1。因此，满足s+t=1条件所有组合均为贝叶斯纳什均衡。
