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1、 第二章 微积分的基本概念 2-1 微商的概念 1. 微商的定义函数的增量：假定函数 y=f(x) 在点 的某个邻域内有定义.当自 变量 x 在这邻域内从 变到时 ， 函数y相应地从 变到 ，因此函数的对应增量为oxyy = f(x)x0x0+ xf(x0)xy首先介绍变量的增量概念.自由落体运动设描述质点运动位置的函数为计算在时刻 的瞬时速度.则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为物体沿直线运动的瞬时速度自由落体运动例：求自由落体运动:2. 曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T (当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜
2、率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有: 加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题定义说明表示在点的某个右 邻域内单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右 导数,记作(左)(左)定义2 . 设函数 有定义,存在,即显然: 函数在一点可导其左右导数都保存并相等.例 证明函数在 x = 0 不可导. 证在 x = 0 不可导. 所以导函数记作:若在区间(a,b)内每一点x处函数f(x)都可导，则称f(x)在(a,b)内可导.这时每一个 都对应一个导数值 ，这样便定义出
3、一个新的函数 ，它被称为f(x)的导函数.例1 求函数(C 为常数) 的导数. 解简单地说，常函数的导函数为零.在一个区间内导数恒为0的函数是一个常数函数.例 2解求函数f(x)=sinx的导数.即例4 设m为一自然数，则证说明： 对一般幂函数( 为常数) （以后将证明）例如，例 5 求 的导数.解例 6 求 的导数.解函数的可导性与连续性的关系设在点 处可导, 即也就是说，我们令那么， 时两边乘上 ，得00 即说明f(x)在点 连续 .注意: 函数在点 连续未必可导.反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.又例如在x=0点是连续的，但它在该点是不可导的.在图形中曲线 在原点o具有垂直于x
4、轴的切线x=0. Oyx函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件 .再举一个例：在前一个例子中，曲线在(0,0)处是一个尖角.两侧的割线有不同的极限位置，即有左、右切线，故在该点没有切线.在后一个例子中，曲线在(0,0)点的切线垂直于 x 轴,因而其与x轴夹角的正切为 ，导致导数的不存在.由于 ，故它显然在x=0点是连续的. 但该函数 在x=0点是不可导的. 极限不存在 .因为内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.2. 增
5、量比的极限;切线的斜率;思考与练习1. 函数 在某点 处的导数区别:是函数 ,是数值;联系:注意:有什么区别与联系 ?？与导函数2. 设存在 , 则3. 已知则4. 若时, 恒有问是否在可导?解: 由题设由夹逼准则故在可导, 且5. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解:故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 .2、微商的四则运算定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且此法则可推广到任意有限项的情形.证: 设, 则故结论成立.例如,(2)证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )推论:(3)证: 设则有故结论成立.( C为常数 )例 7例 8例 9
