传染病传播模型

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1、传染病传播模型 人们不可能去做传染病传播的试验以获取 数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全 和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有 其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多 的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分 析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一 般的传播机理建立模型。传染病传播问题和自然科学中一些已经有 确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰 当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简 单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符 合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行 修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。 模型 1（SI 模型） 假设条件(1) 人群分为易感染者（Susc

2、eptible）和已感染者 （Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这 两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变， 既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量 单位。(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健 康者受感染变为病人。 根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康 者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共 有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的 增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下进而有再设初始时刻（t

3、 = 0）病人的比例为i0，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题 Logistic 模型初值问题的解为 可画出 i(t) t 和 di/dt i 的图形为 i(t) t 的图形di/dt i 的图形于是可知： 当 t 时，i1，即所有人终将被传染 ，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因 是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健 康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。 然而，这个模型在传染病流行的前期还是 可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为 这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量 最大的一天，

4、预示着传染病高潮的到来，是医疗 卫生部门关注的时刻。 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触 率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平 越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推 迟传染病高潮的到来。 模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型） 有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低 ，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康 者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模 型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型 。假设条件(1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染 者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t 这两类人在总人数中所占的比

5、例分别记为 s(t) 和 i(t) 。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常 数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接 触时，使健康者受感染变为病人。(4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例 为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为 仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平 均传染期。 如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下 于是有记初始时刻的病人的比例 i0（i0 0），从而 SI 模型可以修正为我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题 ，其解析解为其中

6、= /。由 和 1/ 的含义可知， 是整个传染期 内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 。于是有我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为 di/dt i 的图形 （ 1） i(t) t 的图形 （ 1） di/dt i 的图形 （ 1） i(t) t 的图形 （ 1） 模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型） 当传染病的传播周期比较长时，若不考虑 出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出 生和死亡情况的 SIS 模型。假设条件(1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已 感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病 人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别 记为

7、 s(t) 和 i(t)。(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且 新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ， 则人口的平均寿命为 1/。(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常 数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接 触时，使健康者受感染变为病人。(4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例 为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为 仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平 均传染期。在上述的假设条件下，人员流程图如下 于是有记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和 i0（i0 0），从而考虑出生和死 亡的 SIS 模型为而由

8、 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的 第二个方程变为恒等式，从而模型简化为如果令 = /(+)，则 仍表示整个传染 期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数 。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死 亡的 SIS 模型相同。 模型 4（不考虑出生和死亡的 SIR 模型）许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治 愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健 康者（易感染者），也非病人（已感染者）， 它们已经退出传染系统。模型的假设条件为(1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移 出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占 的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t

9、)。(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。在上述的假设条件下，人员流程图如下 由假设条件显然有 s(t) + i(t) + r(t) = 1 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值 问题而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是 ，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简 化为上述的初值问题无法求出解析解，只能

10、通 过数值解法求出数值解。例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，则求得数值解如下表，相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i s 曲线如下图。 t012345678i(t)0.020 00.039 00.073 20.128 50.203 30.27950.331 20.344 40.324 7s(t)0.980 00.952 50.901 90.816 90.692 70.54380.399 50.283 90.202 7t91015202530354045i(t)0.286 30.241 80.078 70.022 30.006 10.00170.0

11、00 50.000 10s(t)0.149 30.114 50.054 30.043 40.040 80.04010.039 90.039 90.039 8SIR 模型的 i(t)、s(t) 曲线 SIR 模型的i s 曲线在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经 常通过一些统计资料来估计。事实上，能够求出解析解的微分方程模型 是非常有限的，所以人们经常利用定性理论从 方程本身推出解的相关性质。对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线 分析的方法，来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律 。（参教案，略）模型 5（考虑出生和死亡的 SIR 模型） 模型的假设(1) 人群分为健康者、病人和病

12、愈免疫的移 出者（Removed）三类，三类人在总人数 N 中 占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且 新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ， 则人口的平均寿命为 1/。 在上述的假设条件下，人员流程图如下 此时由假设条件有 s(t) + i(t) + r(t) = 1 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR 模型如下 而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt，于是 ，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简 化为 采用相轨线分析（参见ppt资料传染病 模型1模型4），可以证明：若 1，则i = 0 ，s = 1；若 1，则 i = ie，s = se，(ie, se) = (1/, (1)/)。 ppt资料传染病模型2侧重于模型分析