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1、第1章 矢量分析1.0 矢量及其代数运算 1.1 三种常用的坐标系1.2 矢量函数的微积分1.3 标量函数的梯度1.4 矢量函数的散度1.5 矢量函数的旋度1.6 场函数的微分算子和恒等式第1章 矢量分析第1章 矢量分析u标量（Scalar）-一个仅用大小就能够完整描述的物理量。例如，电压、 温度、 时间、 质量、电荷、电流等。u矢量(Vector) -一个有大小和方向的物理量。例如：电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。1.0矢量及其代数运算第1章 矢量分析1、矢量的表示u矢量的一般表示：A=aA矢量A的方向矢量A的大小ua表示单位矢量（unit vector） ， 其大小等于1。uA=0，
2、称空矢(Null Vector)或零矢(Zero Vector)第1章 矢量分析2、位置矢量u从原点指向任意空间点P的矢量r ，称为位置矢量。u位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。u点P在直角坐标系中的位置 r =axx+ayy+azzx、y、z是位置矢量r在 x、y、z对应垂面上的投影。第1章 矢量分析u 任一矢量A可表示为：A=axAx (x,y,z) +ayAy (x,y,z) +azAz (x,y,z) 矢量A的大小A为：u例题1：已知直角坐标系中的点P1(-3，1，4)和P2(2，-2，3)求: (1)P1、P2两点在直角坐标系中的位置矢量r1、r2；(2)P1
3、到P2的距离矢量R； (3) 矢量r1 在r2 的投影。 第1章 矢量分析3、矢量的代数运算（加减运算和乘法运算）（1）矢量的加法和减法u加法C = A + B = ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz) u减法D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz)结论：矢量的加法和加法运算满足平行四边形法则。第1章 矢量分析AC =B +CABCAABCC =B -C-BC = A + B = ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz)第1章 矢量分析（2）矢量的
4、乘积（标量积和矢量积）标量积(Scalar Product)AB=ABcos 结论：两个不为零的矢量的标量积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=ayaz= azax=0 axax=ayay=azaz=1标量积也称为点积(Dot Product)，等于一个矢量与 另一个矢量在该矢量上投影的乘积若A B呢？ 若AB呢？第1章 矢量分析u任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分量表示为 AB=AxBx+AyBy+AzBz 思考题：1、若AB=AC，则B=C ？2、用矢量法证明三角形的余弦定理u标量积服从交换律和分配律， 即 AB=BA A(B+C)=AB+A
5、C第1章 矢量分析矢量积 (Vector Product)大小等于两个矢量的大小与 它们夹角的正弦之乘积其方向垂直于矢量A与B组成的 平面，与A、B满足右手关系思考：若A B呢？若AB呢？C=AB=anABsin 第1章 矢量分析右手螺旋定则四指：由第一矢量转向第二矢量拇指：指向它们失量积的方向第1章 矢量分析结论：两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行。 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz=0注意：矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即AB=BA A(B+C)=AB+AC第1章 矢量分析u在
6、直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为=ax(AyBzAzBy)+ay(AzBxAxBz)+az(AxByAyBx) 矢量的其他运算详见附录一。第1章 矢量分析结 论u矢量的加法和加法运算满足平行四边形法则；u两个矢量的点积等于标量，两个叉积等于矢量；u两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直；u两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行。第1章 矢量分析1. 直角坐标系（重点） 直角坐标系中的三个坐标变量是x、y、z，如图1-1-1所示。它们的变化范围是1.1 三种常用的坐标系图1-1-1 直角坐标系第1章 矢量分析ux，y，z 表示M点到对应垂直面的距离uex、ey
7、、ez过空间任意点的坐标矢量，它们相互正交，而且遵循exey=ez的右手螺旋法则。（不随M点位置的变化）u在直角坐标系内的任一矢量A可表示为第1章 矢量分析u由点M(x，y，z)沿ex、ey、ez方向分别取微分长度元dx、dy、dz。由x，x+dx；y，y+dy；z，z+dz这六个面决定一个直角六面体，它的各个面的面积元是(与ex垂直) (与ey垂直) (与ez垂直)u该直角六面体的体元是第1章 矢量分析2. 圆柱坐标系圆柱坐标系(简称柱坐标系)中的三个坐标变量是r、j、 z，如图1-1-2所示。图1-1-2 柱坐标系第1章 矢量分析在点M(，j，z)处沿er、ej、ez方向的长度元分别是 与
8、三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是(与e垂直)(与ej垂直)(与ez垂直) (1-1-5)(1-1-6)(1-1-4)体积元是:d=dl dlj dlz= d dj dz第1章 矢量分析3. 球坐标系 球坐标系中的三个坐标变量是r、，如图1-1-3所示，它们的变化范围是图1-1-3 球坐标系第1章 矢量分析在点M(r，)处沿er、e、e方向的长度元分别是与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是(与er垂直)(与e垂直)(与ej垂直)(1-1-9)体积元是 d=dlr dl dlj=r2 sin dr d dj (1-1-10)(1-1-8)第1章 矢量分析1.1.2 三种坐标系坐标变量之间的关
9、系由图1-1-4所示的几何关系，可直接写出三种坐标系的坐标变量之间的关系。1. 直角坐标系与柱坐标系的关系(1-1-11)(1-1-12)第1章 矢量分析图1-1-4 三种坐标系的坐标变量之间的关系第1章 矢量分析2. 直角坐标系与球坐标系的关系(1-1-13)(1-1-14)第1章 矢量分析3. 柱坐标系与球坐标系的关系(1-1-15)(1-1-16)第1章 矢量分析1.1.3 三种坐标系坐标单位矢量之间的关系直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。图1-1-1 直角坐标系图1-1-2 柱坐标系第1章 矢量分析图1-1-5 直角坐标系
10、与柱坐标系的坐标单位矢量之间的关系第1章 矢量分析1、直角坐标系和柱坐标系单位矢量之间的关系直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。因此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-5表示出来，这种变换关系写成矩阵形式为(1-1-17)(1-1-18)第1章 矢量分析柱坐标系和球坐标系都有一个变量，有一个共同的坐标单位矢量e，而其他坐标矢量都落在过z轴的平面内。因此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-6表示出来，将这种变换关系写成矩阵形式为(1-1-19)(1-1-20)2、求标系和柱坐标系单位矢量之间的关系第1章 矢量分
11、析直角坐标系和球标系的坐标单位矢量间关系要用三维空间图形才能表示出来，其图解要复杂一些。但利用 前面得到的坐标单位矢量之间的相互转换关系，将式(1-1-17)代入式(1-1-19)，将式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到(1-1-21)(1-1-22)3、直角坐标系和球坐标系单位矢量之间的关系第1章 矢量分析例1-1-1 如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为A=Ae+Ae+Azez，试求出它在直角坐标系下的各分量大小。解 利用式(1-1-18)，可得其他坐标系的矢量变换可以类似得到，它们与坐标单位矢量的变换是一致的。第1章 矢量分析例1-1-2 写出空间任一点在直角坐标系下的位置矢量
12、表达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标系和球坐标系下的矢量。解 在空间任一点P(x，y，z)的位置矢量为A=xex+yey+zez于是，位置矢量在柱坐标系下得表达式为A=e+zez理可得，在球坐标系下得位置矢量表达式为A=rer可见，位置矢量在不同坐标系下得到的表达式是不同的。第1章 矢量分析1.2 矢量的微积分u直角坐标系中，矢量的微积分运算同高等数学的微积分，只是记得加上矢量符号！第1章 矢量分析1.3 标量函数的梯度1.3.1 标量场及方向导数u标量场：标量在空间的分布标量场的表示：u=u(x，y，z) 假定u(x，y，z)是坐标变量的单值连续可微函数。u等值面方程：u(x，y，z)=C
13、 (C为任意常数)在标量场中，空间的每一点上只对应一个场函数的确定值。所以等值面互不相交，或者说场中的一个点只能在一个等值面上。第1章 矢量分析第1章 矢量分析第1章 矢量分析第1章 矢量分析u方向导数：表示在标量场中某点沿各个方向的变化快慢情况。 定义：图1-3-1 等值面示意图第1章 矢量分析有没有一个最大变化率？取得最大变化率沿着什么方向？第1章 矢量分析1.3.2 梯度1. 梯度的定义定义：大小等于场点M 所有方向导数中的最大值、方向为取得这个最大值时所沿的方向的一个矢量。 表达式：标量场u(x，y，z)在点M处的梯度(gradient)是一个矢量，记作gradu=G (1-3-8)标
14、量场的梯度是个矢量第1章 矢量分析2. 梯度的性质(1) 一个标量函数u的梯度是一个矢量函数。在给定点，梯度的方向就是函数u变化率最大的方向，它的模恰好等于函数u在该点的最大变化率的数值。即 ，说明梯度总是指向函数u(x，y，z)增大的方向。(2) 函数u在给定点沿任意 l 方向的方向导数等于函数u 的梯度在 l 方向上的投影。第1章 矢量分析(3) 在任一点M，标量场u(x，y，z)的梯度垂直于过该M点的等值面，也就是垂直于过该点的等值面的切平面。根据这一性质，曲面u(x，y，z)=C上任一点的单位法线矢量n0可以用梯度表示，即(1-3-12)第1章 矢量分析3. 哈密顿(Hamilton)
15、算子为了方便，我们引入一个算子(1-3-13)称为哈密顿算子。 读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”。“ ”既是一个微分算子，又可以看做是一个矢量，所以称它为一个矢量性微分算子。第1章 矢量分析算子 对标量函数作用产生一矢量函数。在直角坐标系中有(1-3-14)上式右边刚好是gradu，所以用哈密顿算子可将梯度记为(1-3-15)第1章 矢量分析4. 梯度运算基本公式(C为常数) (1-3-16)(C为常数) (1-3-17)(1-3-18)(1-3-19)(1-3-20)(1-3-21)第1章 矢量分析1.4.1 矢量场的通量u 矢量场：矢量在空间的分布矢量场的表示为：F=F(x，y，z)该矢量函数用分量表示为：1.4 矢量函数的散度第1章 矢量分析u通量定义：矢量F 在场中某一个曲面S上的面积分，称为该矢量场通。表达式： (1-4-2)
