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1、xyzSNP复变变函数与积积分变换变换第一章 复数与复变函数1. 复数及其代数运算2. 复数的几何表示3. 复数的乘幂与方根4. 区域5. 复变函数6. 复变函数的极限和连续性第一章 复数与复变函数重点与难点1内容提要2典型例题3一、重点与难点重点：难点：1. 复数运算和各种表示法2. 复变函数以及映射的概念1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域2. 映射的概念二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法向量表示法三角及指数表示法复球面复平面 扩充曲线 与区域判别定理极限 的计算1.复数的概念1) 两复数的和2) 两复数的积3)两复数的商2. 复数的代数运算4)共
2、轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.共轭复数的性质3.复数的其它表示法 （1）几何表示法（2）向量表示法复数的模(或绝对值)模的性质三角不等式 复数的辐角辐角的主值（3）三角表示法利用欧拉公式复数可以表示成称为复数 z 的指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成4.复数的乘幂与方根1) 乘积与商两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有几何意义复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.从几何上看, 两复数对应的向量分别为两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有
3、2) 幂与根(a) n次幂:(b)棣莫佛公式5.复球面与扩充复平面南极、北极的定义(1) 复球面球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数.我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的 北极 N 就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.复球面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大.(2)
4、扩充复平面的定义6.曲线与区域 （1）邻域（2）内点如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集.(4) 区域如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它 为一个区域.(a) D是一个开集；(b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来.(3) 开集(5) 边界点、边界设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属 于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这 样的P点我们称为D的边界点.(7)有界区域和无界区域D的所有边界点组成D的边界.(6) 区域D与它的边界一起构成闭区域. 闭区域 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线).(8) 简单曲线(9) 光滑
5、曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.任意一条简单闭曲线将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质(10) 单连通域与多连通域复平面上的一个区域，如果在其中任作 一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于，就 称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域， 就称为多连通域.从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.7. 复变函数的概念 (1)复变函数的定义(2) 映射的定义函数极限的定义注意:8.复变函数的极限极限计算的定理与实变函数的极限运算法则类似.极限运算法则（1）连续的定义9.复变函数的连续性连续的充要条件连续的性质有理整函数(多项式)有理分式函数特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的.三、典型例题其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值.解解解例6 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解 是实数轴,不是区域.是以 为界的带形单连通区 域. 解是以 为焦点,以3为半 长轴的椭圆闭区域,它不是区 域.不是区域，因为图中解解在圆环内的点不是内点.例7 函数 将 平面上的下列曲线变成 平 面上的什么曲线？解又于是表示 平面上的圆.(1)解表示 平面上以 为圆心， 为半径的圆.xyzSNPThank You! 再见！
