小波变换课件ch4 mallat算法及二维小波

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1、第四章 Mallat算法及二维小波小波变换应用于信号处理的一般过程 4.1 基于正交小波的分解算法 n由已知序列 分别求出 级的近似序 列 和 级细节序列 n分解目标：n如何分解？n结论：序列 和 可分别由序列 通过数字滤波器 和 ，并对输 出作偶数点抽样得到 。n推导:近似序列细节序列n多级分解无需尺度函数和小波函数的具体表达式离散小波变换的数据量不变性质n从j=0开始经J级分解后最后得到 j=0j=-1近似序列细节序列塔式数据 塔式算法初始化问题n , , =？n按照定义实际上，原始数据就是j0的近似序列DWT的相图DWT分解树8点的DWT相图4.2重构算法n由已知近似序列 和细节序列 求

2、出 序列考虑到以及同级尺度函数的平移正交性，有令则则原数据每两个 之间补0所得2l+s=k,=1重构算法多级重构算法4.3边界处理n以下两式的前提式信号为双向无限长序列，n实际信号是有限长序列，矛盾n解决方法：将信号以某种方式延拓为双向 无限长序列 边界处理问题n一般的，数据 的下标范围是0N， 滤波器记为 ， ，其长度，那么分解过程就是 四种延拓方法n补零延拓n简单周期延拓n以边界点为对称中心的对称延拓n边界值重复的对称周期延拓补零延拓n简单n保留多于N/2的 信息才能重构 长度为N的序列n如果信号的边 界点的值与0差 别很大，则会 在边界处产生 阶跃变化简单周期延拓n数据总量保持不变n当信

3、号序列的两端 边界值相差很大时 ，延拓后的信号将 存在周期性的剧烈 突变 以边界点为对称中心的对称周期延拓 step1 从 到 ， N2N2 step2 作N周期延 拓n主周期内以n=0和 n=N-1为对称中心n延拓后的信号不存 在周期性的剧烈突 变不重复S(0),S(N-1)n当 不对称时，数据总量几乎增大一倍n当 对称时，数据总量保持不变(1)L=2K+1,c(n)=c(-n)输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构。 (滤波器的对称中心为0)(2) L=2K+2, c(n)=

4、c(-1-n)输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为-0.5)边界值重复的对称周期延拓 n作对称延拓时重复 原信号的边界值n主周期内以n=-0.5 和n=N-0.5为对称 中心n延拓后的信号不存 在周期性的剧烈突 变重复S(0),S(N-1)(1)L=2K-1,c(n)=c(-n)(2)L=2K,c(n)=c(1-n)输出序列是 2N 的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和 并采用同样的延拓

5、方式实现重构。(采用偶数长的对称（反对称）滤波 器的对称中心为0.5,奇数长的对称滤波器的对称中心为0)一维小波分解重构实例nclc;clear;n% 1.正弦波定义nf1=50; % 频率1nf2=100; % 频率2nfs=2*(f1+f2); % 采样频率nTs=1/fs; % 采样间隔nN=120; % 采样点数nn=1:N;ny=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts); % 正弦波混合nfigure(1)nsubplot(2,1,1)nplot(y);ntitle(Signal)nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(y);ntitl

6、e(Amplitude Spectrum)n% 2.小波滤波器谱分析nh=wfilters(db30,l); % 低通ng=wfilters(db30,h); % 高通nh=h,zeros(1,N-length(h); % 补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）ng=g,zeros(1,N-length(g); % 补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）nfigure(2);nsubplot(2,1,1)nstem(abs(fft(h);%stem函数用于绘制火柴梗图 ntitle(Low-pass Filter(V_0)nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(g);ntit

7、le(High-pass Filter(W_0)n% 3.MALLAT分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现)nsig1=ifft(fft(y).*fft(h); % 低通(低频分量)nsig2=ifft(fft(y).*fft(g); % 高通(高频分量)nfigure(3); % 信号图nsubplot(2,1,1)nplot(real(sig1);ntitle(Low-frequency Component)nsubplot(2,1,2)nplot(real(sig2);ntitle(High-frequency Component)nfigure(4); % 频谱图nsubplot(2

8、,1,1)nstem(abs(fft(sig1);ntitle(Amplitude Spectrum of Low-frequency Component)nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(sig2);ntitle(Amplitude Spectrum of High-frequency Component)n% 4.MALLAT重构算法nsig1=dyaddown(sig1); % 2抽取nsig2=dyaddown(sig2); % 2抽取nsig1=dyadup(sig1); % 2插值nsig2=dyadup(sig2); % 2插值nsig1=sig1(1,1

9、:N); % 去掉最后一个零nsig2=sig2(1,1:N); % 去掉最后一个零nhr=h(end:-1:1); % 重构低通ngr=g(end:-1:1); % 重构高通nhr=circshift(hr,1); % 位置调整圆周右移一位ngr=circshift(gr,1); % 位置调整圆周右移一位nsig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1); % 低频nsig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2); % 高频nsig=sig1+sig2; % 源信号n% 5.比较nfigure(5);nsubplot(2,1,1)nplot(real(sig1);ntitl

10、e(Reconstructed Low-frequency Signal);nsubplot(2,1,2)nplot(real(sig2);ntitle(Reconstructed High-frequency Signal);nfigure(6);nsubplot(2,1,1)nstem(abs(fft(sig1);ntitle(Spectra of the Reconstructed Low-frequency Signal);nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(sig2);ntitle(Spectra of the Reconstructed High-freque

11、ncy Signal);nfigure(7)nplot(real(sig),r,linewidth,2);nhold on;nplot(y);nlegend(Reconstructed Signal,Original Signal)ntitle(Comparisons between Original Signal and Reconstructed Signal)figure1figure2figure3figure4figure5figure6figure74.4 二维正交小波n由一维小波到高维小波，空间由 到n小波变换应用于图像处理，需要有二维小波 函数和二维尺度函数 n构造二维小波的M

12、RA方法：的多分辨率分析是 的子空间序列 存在唯一的尺度函数 ，其伸缩和平移 构成每个 的正交基。特殊情况下， 。如果 是 的 MRA，则 是 的MRA分离变量方法 二维小波分解算法n行处理：将 的每一行（n 取定值）看成是 一个一维信号，分别通过低通滤波器 和高通 滤波器 n列处理：将上述结果的每一列当成一维信号，再 次通过低通滤波器 和高通滤波器 二维小波分解数据总量保持不变是 、 均为低频的信号分量是 为低频、 为高频的信号分量是 、 均为高频的信号分量是 为高频、 为低频的信号分量2DDWT二维小波分解算法n在可分离变量的情况下，二维重构算法也 可通过行处理和列处理的两个步骤进行 4.

13、5 小波变换在图像去噪中的应用 n数据在采集传输的过程中可能受到噪声 污染n噪声可用平稳Gaussian随机过程 来描述n当噪声功率谱为常数时，称为Gaussian白 噪声。n噪声的数学模型：加性噪声和乘性噪声图象去噪问题的特殊性 n最佳线性滤波理论是在平稳随机过程的前 提下推导的，而实际的自然图象往往偏离 这一假设甚远 nWiener滤波器的最优化准则是MSE，而人 类视觉系统(Humman Visual System,HVS) 对图象质量的评价并不与MSE准则相一致 ，特别是对于图象边缘的保真度非常敏感 。 图象去噪的关键问题是既要去除（或减弱）噪声所对应的 高频成分，又要保留（或增强）边

14、缘所对应的高频成分 小波变换应用于图像去噪Step1 对含噪信号进行小波分解，获取近似 序列细节序列 Step2 对细节系数进行处理 Step3 利用step1中获取的近似序列step2中 获取的处理后的细节序列进行重构，获取 去噪后的有用信号nclcnclear allnX,map=imread(Lena.BMP);nX0=imnoise(X,gaussian,0,0.05);nc,s = wavedec2(X,2,db1);%二维小波分解na1 = wrcoef2(a,c,s,db1,1);%利用小波分解中的第一层 低频系数进行重构，即实现低通滤波消噪na2 = wrcoef2(a,c,s,db1,2); %这相当于把第一层的低频 图像再一次经过低通滤波处理nsubplot(2,2,1);image(X);colormap(map);title(原始图象 ,fontsize,12);axis square;nsubplot(2,2,2);imshow(X0);title(加高斯噪声后的图像 ,fontsize,12);axis square;nsubplot(2,2,3);image(a1);colormap(