《工程力学20-j8b(例题)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学20-j8b(例题)（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、工程力学（C ）北京理工大学理学院力学系 韩斌(20)(20)8.4 虚位移原理1. 虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续 保持静止平衡的充要条件是：虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题 。作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位 移上做的虚功之和等于零。即：（8.32）虚功方程对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体 ：对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。若系统全部为有势力作功时，虚功方程为（8.33）比较7 与8 ：条件应应用的系统统平衡的含义义7 力系的 平衡单单个刚刚体 （充要条件）相对惯对惯
2、 性系静 止或匀速直线线运 动动刚刚体系统统 （必要条件） 8 虚位移 原理刚刚体系统统 （充要条件）相对惯对惯 性系静 止2. 虚位移原理的应用（8.32）虚功方程（1）对自由度为k的系统（机构）有k个独立的广义坐标、k个独立的广义虚位移虚功方程（8.34）k个独立方程已知平衡位置，求此时各主动 力之间关系 已知各主动力，求平衡时的位置j=1,k（2）对自由度为零的系统（静定结构）求约束处的约束力自由度为零，系统无虚位移解除一个约束，代之以 相应的待求约束力（视 为未知大小的主动力）系统变为k=1的机构 ，按(1)求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力解题指导解
3、题指导（1）对系统，正确写出虚功方程：（8.32）是全部作功的力的虚功之和 正确找出 全部作功之力 ，正确写出虚 功（2）虚功方程 中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式（3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。例 题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题杆OD、CE、CB、DB，弹簧AB，刚度为k，弹 簧未变形时 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求 当角为平衡位置时，P？解：1.分析拆除弹簧AB ，用 、 表示弹簧对刚体系统的作用系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。例 题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题系统自由度为1，可 选为广义坐标。2.列虚功方
4、程系统中作功的力： 主动力 ，弹簧力 ，弹簧伸长量 故弹簧力的大小为方法一llllll例 题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题建立坐标系Oxy,各 力的虚功表示为：xy利用解析法建立虚位移的关系：求变分llllll例 题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题xyllllll系统的虚功方程为即由于例 题 58 8 虚位移原理虚位移原理 例题方法二不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功 ）虚功方程为xyllllll由同理可得例 题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题AB、BC、CD为三根等 长、等重的均质杆，与铅 垂墙壁连成正方形ABCD， 并用柔绳EH拉住，E、H 分别为AB、BC的中点
5、，各 杆重Q，求柔绳的拉力。例 题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题解：1.分析 系统的自由度为0,静定结构主动力 ：且2.列虚功方程(几何法）G拆除绳EH，自由度为1，用 表示绳索对结构的作用力 。例 题 68 8 虚位移原理虚位移原理 例题且代入上式G此机构中，杆AB，DC为定轴转动，杆BC为平动，可 判断E，G，H各点的虚位移方向。（拉力）例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题杆AB、CD由光滑铰 链C相连，在AB杆的B 端作用一铅垂力 ，在 CD杆上作用一力偶，其 力偶矩为M，不计杆重 ，求A端的约束反力。例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题解：系统的自由度为0可依次
6、拆除A端的 几个约束，将相应 约束力看作主动力 求解。例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题(1)求去掉A端的转动约束， 用约束力偶矩MA代替 。系统的自由度为1 主动力 ：AB定轴转动，CD一般 平面运动，瞬心为P，PAB的虚转角CD的虚转角为则例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题列虚功方程：代入（ ）例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题(2)求 去掉A端的水平约束， 用约束力FAx 代替。 系统的自由度为1 主动力 AB、CD只能作平动例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题(3)求 去掉A端的铅垂约束 系统自由度为1 主动力 ：AB平动，CD瞬心为PP设CD的虚
7、转角为则有列虚功方程：例 题 78 8 虚位移原理虚位移原理 例题即（）9.5 9.5 质点系平衡的广义力质点系平衡的广义力 1. 广义力 以广义力表示的系统平衡条件虚功方程各 之间要满足约 束条件，故不是独 立的，可用广义虚 位移 表示为称为广义坐标 对应的广义力令 （8.35)因此，虚功方程可写为2. 广义力的计算由于各个 独立系统的平衡条件 ：（8.36 ）分别计算k个广义力 ，计算 时，选取一组特殊的广义虚位移，令但而 这组虚位移下系统的虚功为 ：则j=1k (8.37)3. 有势力场质点系的平衡问题设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能V或选取广义坐标与 相应的广义力 ：各有势力
8、直角坐标下的 投影Fi与势能的关系则系统的元功选取直角坐标 xix2 x1x3(xi1,xi2,xi3)平衡条件：或4.有势力场中质点系平衡的稳定性例如：考虑自重的 杆的平衡问题。即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（ 或 ）的位形处。以下仅讨论单自由度系统 ：设在处系统平衡。将在处台劳展开当q在 附近时，略去二阶以上小量注意到，因 处于平衡位置，所以则在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况 ：(1)取极小值(2)取极大值 (3)拐点 (4)不变化q对应的广义力则(a) 当 时，有势能V在 处取极小值，广义力Q与广义位移的增量 的符号相反。Q可使质点恢复到平衡位置 。 是质点系
9、的稳定平衡位置 。故当 时 ，(b)当 时，有势能V在 处取极大值，广义力Q与广义位移的增量的符号相同。Q可使质点离开平衡位置 。q对应的广义力(c)当 时，需考察V=V(q)更高阶导数(d)当V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡是质点系的不稳定平衡位置。故 时 ，稳定平衡不稳定 平衡随遇平衡在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为 最小，称为最小势能原理。最小，称为最小势能原理。三铰刚架受力如图， 求C端的约束力。例 题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题系统的自由度为2。 主动力 ：例 题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题解：此为静定结构
10、，自由 度为0， C端约束力有 ，去掉C端约束，计算这两个广义坐标相应的广义力Q1和Q2：取一组广义坐标:为AB绕A点定轴转动的方位角 为BC相对于AB绕B点定轴转动的方位角例 题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题计算系统的虚功 ：(1)令 此时BC相对于AB静止，整个系统绕A定轴转动：yxAB不动， BC以B点为 基点定轴转动：例 题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题yx（2）令系统的虚功为 ：( )( )yx例 题 88 8 虚位移原理虚位移原理 例题（3）广义力平衡条件均质杆OA、OB以光滑铰 链连接，OA杆O端与固 定铰支座铰接。两杆长 分别为 、 ，重分别 为 、 ，现在B端
11、作用 一水平力 ,试求平衡时 角 、 各为多少？例 题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题解：系统自由度为2 ，主动力 ：(1)广义坐标 ：计算广义力例 题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题(2)令相当于OAB为刚体绕O点 转动，O为基点。例 题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题(3)令相当于刚体OA不动，刚体 AB绕A点转动，A为基点 。例 题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题(4)平衡条件例 题 98 8 虚位移原理虚位移原理 例题由由地震仪的示意图如图 。弹簧系数为k，AC水平时， 两弹簧具有初始压力 。求BD处于铅直位置，且为 稳定平衡时，k应为多大？例 题 108 8
12、虚位移原理虚位移原理 例题解 ：单自由度系统取 为广义坐标，(即 BD与铅直轴夹角 )。拆除弹簧,用弹簧力代替。主动力 ：都为有势力 。设AC在水平位置时 两弹簧的初压缩量例 题 108 8 虚位移原理虚位移原理 例题的零势点取为B，弹簧 的零势点取其自然状态。系统的势能：由显然时有=0为平衡位置例 题 108 8 虚位移原理虚位移原理 例题当时 ：稳定平衡的条件为：例 题 108 8 虚位移原理虚位移原理 例题由 求导：例 题 118 8 虚位移原理虚位移原理 例题Or OrrO rO放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆 柱薄壳（半径均为r)，分析其平衡的稳定性。 (设物体接触面间有足够的静摩擦力）rOrrOr解：设上面 物体重心为C ，m为其质量 ，仅有重力作功 ，有势系统， 存在势能V：CC求导rCO OO为平衡位置时例 题 118 8 虚位移原理虚位移原理 例题(地面为零点)Or OrrrCCrCO OO例 题 118 8 虚位移原理虚位移原理 例题对半圆柱 ：不稳定平衡 ！对半圆柱 薄壳：稳定平衡！
