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1、1第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前 n n 项和项和A A 组组 基础题组基础题组1.在等比数列an中,a2a3a4=8,a7=8,则 a1=( )A.1 B.1 C.2 D.22.(2016 北京海淀期末)已知数列an是公比为 2 的等比数列,且满足-a3=0,则 a4的值为( )42A.2 B.4C.8 D.163.等比数列an的前 n 项和为 Sn,若公比 q1,a3+a5=20,a2a6=64,则 S5=( )A.31B.36C.42D.484.在等比数列an中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列an+1也是等比数列,则 Sn=( )A.2n+1-2 B.3nC.2n D
2、.3n-15.(2018 北京朝阳期中)已知数列an为等比数列,a1=1,a4=8,则an的前 5 项和 S5= . 6.已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S1,S3,S4成等差数列,则数列an的公比为 . 7.(2014 北京石景山统测)在等比数列an中,a1=2,a4=16,则数列an的通项公式为 an= ,设bn=log2an,则数列bn的前 n 项和 Sn= . 8.(2017 北京东城二模)在等差数列an中,a1=-2,a12=20.(1)求通项 an;(2)若 bn=,求数列的前 n 项和.1+ 2+ + 3B B 组组 提升题组提升题组9.(2016 北京东城期末)
3、纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成的一定尺寸.现在我国采用国际标准,规定以 A0,A1,A2,B1,B2 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用 A 系列和 B 系列,其中 An(nN,n8)系列的幅面规格如下:A0,A1,A2,A8 规格的纸张的幅宽(以 x 表示)和长度(以 y 表示)的比例关系都为 xy=1;22将 A0 纸张沿长度方向对开成两等份,便成为 A1 规格,将 A1 纸张沿长度方向对开成两等份,便成为 A2规格,如此对开至 A8 规格.现有 A0,A1,A2,A8 纸各一张.若 A4 纸的宽度为 2 dm,则 A0 纸的面积为 dm2;这 9 张纸的面积之
4、和等于 dm2. 10.(2017 北京海淀期中)已知an是等比数列,a2=2 且公比 q0,-2,a1,a3成等差数列.(1)求 q 的值;(2)已知 bn=anan+2-nan+1(n=1,2,3,),设 Sn是数列bn的前 n 项和.若 S1S2,且 Sk2 016?若存在,求符合条件的 n 的最小值;若不存在,说明理由.答案精解精析答案精解精析A A 组组 基础题组基础题组1.A 因为数列an是等比数列,所以 a2a3a4=8,所以 a3=2,所以 a7=a3q4=2q4=8,所以 q2=2,则 a1=1,a33a3q2故选 A.2.C an为等比数列,公比为 2,4由-a3=0,得
5、22-=0,a4=8.a4a2a423.A 由等比数列的性质,得 a3a5=a2a6=64,于是由且公比 q1,得 a3=4,a3+ a5= 20, a3a5= 64,?a5=16,所以a1q2= 4, a1q4= 16,?解得a1= 1, q = 2(q =- 2舍),?所以 S5=31,故选 A.1 (1 - 25) 1 - 24.C 设an的公比为 q,则 an=2qn-1,因为数列an+1也是等比数列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an(1+q2-2q)=0q=1,即 an=2,所以 Sn=2n,
6、故选 C.a2 n + 15. 答案 31解析 设等比数列an的公比为 q,则 a1q3=q3=8,q=2.S5=25-1=31.1 (1 - 25) 1 - 26. 答案 1 +52解析 设正项等比数列an的公比为 q(q0),S1,S3,S4成等差数列,2S3=S1+S4,易知 q=1 时上式不成立,q1,2=a1+,a1(q3- 1)q - 1a1(q4- 1)q - 1化简得 q3-2q2+1=0,即(q-1)(q2-q-1)=0,又 q1,且 q0,q=.1 +527. 答案 2n;n(n + 1) 2解析 设公比为 q,由题意知 q3=8,q=2,又 a1=2,a4a1an=a1q
7、n-1=22n-1=2n,bn=log2an=n,故 Sn=1+2+n=.n(n + 1) 28. 解析 (1)设数列an的公差为 d.5因为 an=-2+(n-1)d,a12=20,所以 a12=-2+11d=20.于是 d=2,所以 an=2n-4.(2)因为 an=2n-4,所以 a1+a2+an=n(n-3).n(2n - 6) 2于是 bn=n-3,a1+ a2+ + ann令 cn=,则 cn=3n-3.3bn显然数列cn是等比数列,且 c1=3-2,公比 q=3,所以数列的前 n 项和为=.3bnc1(1 - qn)1 - q3n- 1 18B B 组组 提升题组提升题组9. 答
8、案 64;2511 24解析 依题意,A0,A1,A2,A8 纸的面积构成以 为公比的等比数列.1 2因为 A4 纸的宽度为 2 dm,所以其长度为 2 dm,故面积为 4 dm2,22所以 A0 纸的面积为 64 dm2,2这 9 张纸的面积之和等于= dm2.64 2(1 -129)1 -1 2511 2410. 解析 (1)-2,a1,a3成等差数列,2a1=-2+a3,an是等比数列,a2=2,q0,a3=a2q=2q,a1= ,a2q2 q代入整理得 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去),q=2.6(2)由(1)知 an=2n-1,bn=anan+2-nan+1=4n
9、-n2n,S1S2,S2-S12,Sk0(k=2,3,4)恒成立,bk+1=4k+1-(k+1)2k+1,1,ck + 1ck2k + 2 k + 2k + 12k + 1k + (k + 2) k + 2数列ck在 k2 且 kN*上单调递增,(ck)min=c2= ,23 38 32,8 3.(2,8 3)11. 解析 (1)因为an是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 an=2n-1.因为bn是首项为 1,公比为 q 的等比数列,所以 bn=qn-1.所以 cn=an+bn=2n-1+qn-1.因为cn是等差数列,所以 2c2=c1+c3,即 2(3+q)=2+5+q2,解得 q=
10、1.经检验,q=1 时,cn=2n,cn是等差数列.(2)由(1)知 cn=2n-1+qn-1(n=1,2,).所以 Sn=+ = 1 = 1 = 1=+=n2+. = 1(2 - 1) = 1 - 1 = 1 - 17当 q=1 时,Sn=n2+n.当 q1 时,Sn=n2+.- 1 - 1综上,Sn=2+ , = 1,2+- 1 - 1, 1.?12. 解析 (1)设数列an的公比为 q,因为 S2+a1=0,所以 2a1+a1q=0.因为 a10,所以 q=-2,又因为 a3=a1q2=12,所以 a1=3,所以 an=3(-2)n-1.(或写成= -3 2 ( - 2)(2)因为 Sn=1-(-2)n.3 1 - ( - 2) 1 - ( - 2)令 Sn2 016,即 1-(-2)n2 016,即(-2)n2 015,解得 n11.所以满足 Sn2 016 的正整数 n 的最小值为 11.
