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1、概率论与数理统计实验实验实验2 2 随机数的产生数据的统计描述实验目的实验内容学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。2、统计的基本概念。4、计算实例。3、计算统计描述的命令。1、随机数的产生在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用 分布的随机数，命令如下：一、随机数的产生10常用分布随机数的产生定义：设随机变量XF(x),则称随机变量X的 抽样序列Xi为分布F(x)的随机数函数名 对应分布的随机数 binornd二项分布的随机数 chi2rnd卡方分布的随机数 exprnd指数分布的随机数 frndf分布的随机数 gamrnd伽玛分布的随机数 geornd几何分布的随机数 h
2、ygernd超几何分布的随机数 normrnd正态分布的随机数 poissrnd泊松分布的随机数 trnd学生氏t分布的随机数 unidrnd离散均匀分布的随机数 unifrnd连续均匀分布的随机数调用格式：1、y=random(name, A1, A2, A3, m, n)其中：name为相应分布的名称，A1, A2, A3为分布 参数，m为产生随机数的行数，n为列数。2、直接调用。 如： y=binornd(n, p, 1,10) 产生参数位n，p的1行10列的二项分布随机数当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在 何处取值的概率小，就只好用
3、U（a，b）来模拟它。1、均匀分布U(a,b)1)unifrnd (a,b)产生一个a,b 均匀分布的随机数 2)unifrnd (a,b,m, n)产生m行n列的均匀分布随机数矩阵例1、产生U(2,8)上的一个随机数，10个随机数，2行5列的随机数。 命令：(1) y1=unifrnd(2,8) (2) y2=unifrnd(2,8,1,10) (3) y3=unifrnd(2,8,2,5)y1=7.7008y2=3.3868 5.6411 4.9159 7.3478 6.5726 4.7388 2.1110 6.9284 4.6682 5.6926y3=6.7516 6.4292 4.43
4、42 7.5014 7.3619；7.5309 3.0576 7.6128 4.4616 2.34732、正态分布随机数例2、产生N(10,4)上的一个随机数，10个随机数，2行5列的随机数.命令 (1) y1=normrnd(10,2) (2) y2=normrnd(10,2,1,10) (3) y3=normrnd(10,2,2,5)1)R = normrnd(, ,)：产生一个正态分布随机数 2)R = normrnd(, ,m,n)产生m行n列的正态分布随机数当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以 认为该对象服从正态分布。机械加工得到的零件
5、尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等 ，都可近似看成服从正态分布。3、指数分布随机数例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数，2行6列的随机数。命令 (1) y1=exprnd(0.1) (2) y2=exprnd(0.1,1,20) (3) y3=exprnd(0.1,2,6)1) R = exprnd()：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(,m,n)产生m行n列的指数分布随机数结果 (1) y1=0.0051 (2) y2=0.1465 0.0499 0.0722 0.0115 0.0272 0.0784 0.3990 0.0197
6、0.0810 0.0485 0.0233 (3) y3=0.1042 0.4619 0.1596 0.0505 0.1615 0.0292；0.0207 0.1974 0.1616 0.1301 0.4182 0.0809排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、 故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指 数分布指数分布的均值为1/0.1=10。指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个 单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客. 顾 客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。4、二项分布随机数例4
7、、产生B(10,0.8)上的一个随机数，15个随机数，3行6列的随机数。命令 (1) y1=binornd(10,0.8) (2) y2=binornd(10,0.8,1,15) (3) y3=binornd(10,0.8,3,6)1)R = binornd(n, p)：产生一个二项分布随机数 2) R = binornd(n,p,m,n)产生m行n列的二项分布随机数20、其他分布随机数的产生方法定理 设X的分布函数为F(x)，连续且严格单调上升， 它的反函数存在，且记为F-1(x)， 则 F(X)U(0,1) 若随机变量UU(0,1),则F-1(U) 的分布函数为F(x)。此定理给出的构造分
8、布函数为F(x)的随机 数的产生方法为：取U(0,1)随机数Ui,(i=1,2),令Xi=F-1(Ui),则 Xi ,(i=1,2),就是F(x)随机数，如果Ui独立，则 Xi也互相独立。（一）直接抽样法（反函数法）（1）连续分布的直接抽样法设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则产生随机数的方法为：取U(0,1)随机数Ui,(i=1,2),令Xi=F(Ui),则Xi ,(i=1,2), 就是F(x)随机数，如果Ui独立，则Xi也互相独立。设分布律为P(X=xi)= pi , i=1, 2, .，其分布函数为F(x) （2）离散分布的直接抽样法 产生均匀随机数R，即RU(0,1)则XF(x)
9、（二）变换抽样法（三）值序抽样法（四）舍选抽样法（五）复合抽样法（合成法）（六）近似抽样法详见：高惠璇 北京大学出版社统计计算例5、 设X分布函数为解：Y的分布函数为其反函数为生成n=20的1行10列随机数命令：U=unifrnd(0,1,1,10);Y=1-(1-U).(1/20);设则例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,
10、yRandnum);例6 频率的稳定性1、 事件的频率在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件A发生的次数。频率 f=m/n 2.频率的稳定性 在重复试验中，事件A的频率总在一个定值附近摆动，而且，随着重复试验次数的增加，频率的摆动幅度 越来越小，呈现出一定的稳定性.掷一枚硬币，记录掷硬币试验中频率P*的波动情况。(1)模拟产生n个0-1分布随机数randnum(n)(2)对模拟产生的随机数， xrandnum (i)表示 第i次试验的结果，1表示正面向上，0表示反 面向上。(3)统计前i次试验中正面向上的次数，并计算频率（4）作图(关于频率和试验次数的图像）p为正面向上的概
11、率，n为试验次数在Matlab中编辑.m文件输入以下命令：function binomoni(p,n) pro=zeros(1,n); %频率向量 randnum = binornd(1,p,1,n);%产生二项分布随机数 a=0; for i=1:na=a+randnum(1,i);%频数pro(i)=a/i;%频率 end pro=pro; num=1:n; plot(num,pro,num,p)在Matlab命令行中输入以下命令：binomoni(0.5,1000)在Matlab命令行中输入以下命令：binomoni(0.5,10000)在Matlab命令行中输入以下命令： binomo
12、ni(0.3,1000)1、表示位置的统计量平均值和中位数平均值（或均值，数学期望）： 中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值. 二、常用统计量平均值：mean(x) 中位数：median(x) 若x为矢量，返回平均值和中位数，若x为 矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中 列元素的平均值和中位数2、表示变异（离散）程度的统计量方差、标准差、极差 样本方差： 它是各个数据与均值偏离程度的度量 标准差：是方差的开方 极差：样本中最大值与最小值之差. 标准差：std(x) 方差：var(x) 极差：range(x)例7：产生5组正态分布随机数，每组100个 ，计算均值、中位数、标准差、极
13、差、方差 。x=normrnd(0,1,100,5);mean1=mean(x) median1=median(x) std1=std(x) var1=var(x) rang1=range(x)3.表示分布形状的量偏度和峰度 分布偏度： 其估计量为： 其中命令：y=skewness(x) 若x为矢量，返回样本偏度，若x为矩阵， 结果为行向量，每个元素对应x中列元素 的样本偏度。正态分布偏度为0，偏度反映分布的对称性 ，g1 0称为右偏态，此时数据位于均值右边 的比位于左边的多；g1 0称为左偏态，情况 相反；而g1接近0则可认为分布是对称的. 分布峰度 其估计量为： 其中命令：y=kurtos
14、is(x) 若x为矢量，返回x的样本峰度，若x为矩 阵，结果为行向量，每个元素对应x中列 元素的样本峰度。峰度是分布形状的另一种度量，正态分布 的峰度为3，若g2比3大很多，表示分布有沉 重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的 数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的 尺度之一 例8：产生5组正态分布随机数，每组100个 ，计算样本偏度和峰度。x=normrnd(0,1,100,5);skewness1=skewness(x) kurtosis1=kurtosis(x)例9：产生5组指数分布随机数，每组100个 ，计算样本偏度和峰度。x=exprnd(10,100,5); skewness1=s
15、kewness(x) kurtosis1=kurtosis(x)三、分布函数的近似求法（直方图）1、经验分布函数（累计频率直方图） Empirical Cumulative Distribution Function 定义：设x1，x2，xn是总体的容量为n的样本值，将其按由小到大的顺序排列，并 重新编号，记为则经验分布函数为：总体分布函数的近似2、频率直方图近似概率密度函数下面介绍频率直方图和经验分布函数的做法1、整理资料： 把样本值x1，x2，xn进行分组，先将它们依大小次序排列，得 在包含 的区间a，b内插入m-1个等分点： 注意要使每一个区间 (i=1，2，m)内都有样本观测值x i（
16、i=1，2，n-1）落入其中.记t0=a,tm=b。第i个小区间为 2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间 中出现的次数 它就是这区间或这组的频数， 计算频率 累计频数为累计频率为3、作图： 记： 其中d为区间长度 ，以小区间为底，以为高作长方形(i=1,2,m)这样画出一排竖着的长方形极为频率直方图若以为高既得累计频率直方图(1)、描绘数组data的频数直方图的命令为： hist(data, k)4、频数直方图的描绘(2)、描绘附加带有正态密度曲线的直方图命令为：histfit(data , k)(3)、描绘数组data的经验分布函数的命令为： cdfplot(data)例10 一道工序
