《2016-2018年三年高考数学（理）真题分类专题08导数与不等式、函数零点相结合含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2018年三年高考数学（理）真题分类专题08导数与不等式、函数零点相结合含解析（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编1专题 08 导数与不等式、函数零点相结合考纲解读明方向考纲内容考 点考查频度学科素养规律与趋向1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.导数与不等式3 年 3 考逻辑推理数学计算1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程（不等式）问题2.低频考向:利用导数解决某些实际问题.3.特别关注:利用导数研究函数的零点问题.2018 年高考全景展示1.【2018 年全国卷理】已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求 【答案】 （1）见解析（2）当时，；当
2、时，.故当时，且仅当时，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2） （i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾.2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编2（ii）若，设函数.由于当时，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.如果，则当，且时，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。2 【2018 年理数全国卷 I
3、I】已知函数（1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求 【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是 a 与零，一个是 x 与 2，当时，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得 a 的值.2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编3（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最
4、小值 若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3 【2018 年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的
5、地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编4（1）用 分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】 （1）矩形 ABCD 的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP 的面积为1600（cossincos） ，sin 的取值范围是 ，1） （2）当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形
6、的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10过 O 作 OEBC 于 E，则 OEMN，所以COE=，故 OE=40cos，EC=40sin，则矩形 ABCD 的面积为 240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos） ，CDP 的面积为 240cos（4040sin）=1600（cossincos） 过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=K
7、N=10令GOK=0，则 sin0= ，0（0， ） 当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin 的取值范围是 ，1） 2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编5答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP 的面积为1600（cossincos） ，sin 的取值范围是 ，1） 令，得 = ，当 （0， ）时，所以 f（）为增函数；当 （ ， ）时，所以 f（）为减函数，因此，当 = 时，f（）取到最大值答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部
8、的知识解决问题.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 3，理 11】已知函数有唯一零点，则a=211( )2()xxf xxxa ee ABCD11 21 31 2【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，2112xxxxa ee 设，则， 11xxg xee 21 111 1111x xxx xxegxeeeee 当时，当时，函数 单调递减， 0gx1x 1x 0gx g x2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编6当时，函数 单调递增，1x 0gx g x当时，函数取得最小值，1x 12g设 ，当时，函数取得最小值 ， 22h xxx1x 1若，函数与函数没有交点，0a
9、h x ag x当时，时，此时函数和有一个交点，0a 11agh h x ag x即，解得 .故选 C.21a 1 2a 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.2.【2017 课标 1，理 21】已知函数.2( )(2)xxf xaeaex（1）讨论的单调性；( )f x（2）若有两个零点，求a的取值范围.( )f x【解析】试题分析：
10、（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按( )f xa，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若0a 0a 0a ( )f x，当时，取得最小值，求出最小值，根据，0a lnxa ( )f x1( ln )1lnfaaa 1a ，进行讨论，可知当有 2 个零点，设正整数满足，则(1,)a(0,1)a(0,1)a0n03ln(1)na.由于，因此在0000 0000()e ( e2)e20nnnnf naannn3ln(1)lnaa ( )f x有一个零点.所以的取值范围为.( ln ,)aa(0,1)2016-2018 三年高考数学真
11、题分项整理汇编7（2） （）若，由（1）知，至多有一个零点.0a ( )f x（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.0a lnxa ( )f x1( ln )1lnfaaa 当时，由于，故只有一个零点；1a ( ln )0fa( )f x当时，由于，即，故没有零点；(1,)a11ln0aa( ln )0fa( )f x当时，即.(0,1)a11ln0aa( ln )0fa又，故在有一个零点.422( 2)e(2)e22e20faa ( )f x(, ln )a 设正整数满足，则.0n03ln(1)na0000 0000()e ( e2)e20nnnnf naannn由于，因此在有一个
12、零点.3ln(1)lnaa ( )f x( ln ,)a综上，的取值范围为.a(0,1)【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有 2 个零点求参( )f x数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与ya其交点的个数，从而求出 a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有 2 个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于 0，且后面还需验证有最小值两边存( )f x在大于 0 的点.3.【2017 课标 II，理】已知函数，
13、且。 2lnf xaxaxxx 0f x (1)求；a(2)证明：存在唯一的极大值点，且。 f x0x 22 02ef x【答案】(1)；(2)证明略。1a 2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编8【解析】试题分析：(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；1a (2)结合(1)的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的 22lnh xxx h x f x不等式。 22 02ef x（2）由（1）知 ，。 2lnf xxxxx 22lnfxxx设，则。 22lnh xxx 12hxx当 时， ；当 时， ，10,2x 0hx 1,2x 0hx 所以
14、 在 单调递减，在 单调递增。 h x10,21,2又， ， 20h e102h 10h所以 在 有唯一零点，在 有唯一零点 1， h x10,20x1,2且当 时， ；当 时， ，00,xx 0h x 0,1xx 0h x 当 时， 。1,x 0h x 因为 ，所以是的唯一极大值点。 fxh x0xx f x由得，故。 00fx00ln21xx 0001f xxx2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编9由 得 。00,1x 01 4f x因为是在（0,1）的最大值点，0xx f x由， 得。 10,1e 10fe 12 0f xf ee所以。 22 02ef x【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。4.【2017 天津，理 20
