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1、 本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。2151 惯性力的概念 质点的达朗伯原理 152 质点系的达朗伯原理153 刚体惯性力系的简化154 定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念达朗伯原理的应用 第十五章 达朗伯原理15-1 惯性力的概念 质点的达朗伯原理人用手推车力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。定义：质点惯性力加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。一、惯性力的概念 4
2、注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。5非自由质点M，质量m，受主动力 ，约束反力 ，合力质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理6该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。7例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。8选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。解
3、：由动静法, 有解得 915-2 质点系的达朗伯原理对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为 ：设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有注意到 , 将质点系受力按内力、外力 划分, 则10表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。11对平面任意力系：对于空间任意力系：实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，1215-3 刚体惯性力系的简化简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个
4、惯性力 和一个惯性力偶 。无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。13一、刚体作平动向质心C简化：刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻 页 请 看 动 画1415空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：主矩：二、定轴转动刚体先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。O直线 i : 平动， 过Mi点，16向O点简化：向质点C点简化：作用在C点作用在O点17讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。18讨论：转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）19讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质
5、心，则（主矢、主矩均为零）20假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：作用于质心三、刚体作平面运动2122对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：实质上：23例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。选杆AB为研究对象虚加惯性力系： 解：根据动静法，有2425用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为研究对象由得：由质心运动定理：26例2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿
6、水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。取轮为研究对象虚加惯性力系： 解：由动静法，得：O27由(1)得由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动， 必须 Ff N =f (P+S) (5)可见，f 越 大越不易滑动 。Mmax的值 为上式右端的 值。把(5)代入(4)得：O2815-4 定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念一、刚体的轴承动反力刚体的角速度 ，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩惯
7、性力系向O点简化: 主矢 ,主矩2930根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得31由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。 使附加动反力为零，须有静反力 附加动反力动反力32当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z 轴惯性积为零，z 轴为 刚体在O点的惯性主轴；过质心33静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念34例1
8、 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a)35动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体 ，不一定是动平衡的。例2 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OO36根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利
9、。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用37选取研究对象。原则与静力学相同。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。 38列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。求解求知量。注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。39例1 质量为m1和m2
10、的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象解：方法1 用达朗伯原理求解40虚加惯性力和惯性力偶：由动静法：列补充方程： 代入 上式得：41方法2 用动量矩定理求解 根据动量矩定理：取系统为研究对象42取系统为研究对象，任一瞬时系统的两边除以dt，并求导数，得方法3 用动能定理求解43例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角
11、加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？44解：方法1 用达朗伯原理求解 取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列出动静方程：取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。45列出动静方程：运动学关系： ，将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：46代入(2)、(3)、(5)式，得：47方法2 用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为研究对象两边对t求导数：48(2) 用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）取轮O为研究对象，由动量矩定理得(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力取
12、轮O为研究对象，根据质心运动定理：49(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反力 和 及摩擦力 ）。50例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：P51主动力的功：由动能定理 得对 t 求导数，则 ： (2) 用达朗伯原
13、理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQCP52列出动静方程：53例4 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解：用达朗伯原理求解绕线轮作平面运动 （纯滚动）由达朗伯原理，得将RQ 、MQO代入上式，可得54纯滚动的条件： F f N 551. 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F ？思考题：解：56解：2. 质量为M的三棱柱体A 以加速度 向右移动，质量为m的滑块B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性力的大小和方向如何？573. 匀质轮重为P，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为 ，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。解：5859
