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1、5 - 1管理统统 计计学第 5 章 概率与概率分布统计学5 - 2管理统统 计计学第 5 章 概率与概率分布5.1 随机事件及其概率5.2 概率的性质与运算法则5.3 离散型随机变量及其分布5.4 连续型随机变量及其分布5 - 3管理统统 计计学学习目标定义试验、结果、事件、样本空间、概率 描述和使用概率的运算法则 定义和解释随机变量及其分布 计算随机变量的数学期望和方差计算离散型随机变量的概率和概率分布计算连续型随机变量的概率用正态分布近似二项分布用Excel计算分布的概率5 - 4管理统统 计计学5.1 5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率一. 随机事件的几个基本概念二. 事件的概率
2、三. 概率计算的几个例子5 - 5管理统统 计计学随机事件的几个基本概念5 - 6管理统统 计计学试 验 (experiment)在相同条件下，对事物或现象所进行的观察n例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数试验的特点n可以在相同的条件下重复进行n每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的n在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果5 - 7管理统统 计计学事件的概念事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点 集合)n例如：掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不 出现的事件n例如：掷一枚骰子可能出现的
3、点数 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件， 用 表示n例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现 的事件，用 表示n例如：掷一枚骰子出现的点数大于65 - 8管理统统 计计学事件与样本空间基本事件(elementary event)n一个不可能再分的随机事件n例如：掷一枚骰子出现的点数样本空间(eample Space)n一个试验中所有基本事件的集合，用 表示n例如：在掷枚骰子的试验中， 1,2,3,4,5,6n在投掷硬币的试验中， 正面，反面5 - 9管理统统 计计学事件的关系和运算 (事件的包含) AB
4、BB B A A 若事件若事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生，则发生，则 称事件称事件B B包含事件包含事件A A，或事件或事件A A包含于事件包含于事件 B B，记作或记作或 A A B B或或 B B A A5 - 10管理统统 计计学事件的关系和运算 (事件的并或和) 事件事件A A和事件和事件B B中至少有一个发生的事件称为中至少有一个发生的事件称为 事件事件A A与事件与事件B B 的并。它是由属于事件的并。它是由属于事件A A或事件或事件B B 的所有的样本点组成的集合，记为的所有的样本点组成的集合，记为A AB B或或A A+ +B BBA AA AB B5 -
5、 11管理统统 计计学事件的关系和运算 (事件的交或积) AB BA A B B 事件事件A A与事件与事件B B同时发生的事件称为事件同时发生的事件称为事件A A与事与事 件件B B的交的交，它是由属于事件它是由属于事件A A也属于事件也属于事件B B的所有的所有 公共样本点所组成的集合，记为公共样本点所组成的集合，记为B B A A 或或ABAB5 - 12管理统统 计计学事件的关系和运算 (互斥事件) AB BA A 与与 B B互不相容互不相容 事件事件A A与事件与事件B B中，若有一个发生，另一个必定不中，若有一个发生，另一个必定不 发生，发生， 则称事件则称事件A A与事件与事件
6、B B是互斥的，否则称两个事是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件件是相容的。显然，事件A A与事件与事件B B互斥的充分必要互斥的充分必要 条件是事件条件是事件A A与事件与事件B B没有公共的样本点没有公共的样本点5 - 13管理统统 计计学事件的关系和运算 (事件的逆) AA A 一个事件一个事件B B与事件与事件A A互斥，且它与事件互斥，且它与事件A A的并是的并是 整个样本空间整个样本空间 ，则称事件，则称事件B B是事件是事件A A的逆事件。的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件它是由样本空间中所有不属于事件A A的样本点所组的样本点所组 成的集合，记为成的集合，记为
7、 A A5 - 14管理统统 计计学事件的关系和运算 (事件的差) A A - - B BAB B 事件事件A A发生但事件发生但事件B B不发生的事件称为事件不发生的事件称为事件A A 与与事件事件B B的差的差，它是由属于事件它是由属于事件A A而不属于事件而不属于事件 B B的那些样本点构成的集合，记为的那些样本点构成的集合，记为A A- -B B 5 - 15管理统统 计计学事件的关系和运算 (事件的性质) 设A、B、C为三个事件，则有 交换律：AB=BA AB=BA 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(
8、AC)5 - 16管理统统 计计学4、反演律： A B=A B AB =A+B5 - 17管理统统 计计学事件的概率5 - 18管理统统 计计学事件的概率 (probability)事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义5 - 19管理统统 计计学事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率 ， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右试验的次数试验的次数正面正面 / /试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250
9、.500.500.750.750 02525505075751001001251255 - 20管理统统 计计学5.2 5.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则一. 概率的性质二. 概率的加法法则二. 条件概率与独立事件5 - 21管理统统 计计学概率的古典定义 如果某一随机试验的结果有限，而且各个 结果在每次试验中出现的可能性相同，则 事件A发生的概率为该事件所包含的基本 事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事 件个数 n 的比值，记为5 - 22管理统统 计计学概率的古典定义 (例题分析) 【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男
10、性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁钢铁 公司所属企业职业职 工人数工厂男职职工女职职工合计计炼钢炼钢 厂 炼铁炼铁 厂 轧钢轧钢 厂4000 3200 9001800 1600 6006200 4800 1500合计计85004000125005 - 23管理统统 计计学概率的古典定义(例题分析) 解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全 公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合 。则(2)(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则5 - 24管理统统 计计学概率的统计定义 在相同条件下进行n次随机试验，
11、事件A出 现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频 率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P 上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向 于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的 概率，记为5 - 25管理统统 计计学概率的统计定义(例题分析) 【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有5 - 26管理统统 计计学主观概率定义对一些无法重
12、复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据 个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为2009年的中国股市是一个盘整 年5 - 27管理统统 计计学概率的性质与运算法则5 - 28管理统统 计计学概率的性质非负性n对任意事件A，有 0 P 1 规范性n必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0 可加性n若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )n推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) +
13、+ P (An )5 - 29管理统统 计计学概率的加法法则(additive rule) 法则一 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，An两两互斥，则有P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )5 - 30管理统统 计计学概率的加法法则(例题分析) 【例例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事 件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。 随机抽取一人
14、为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为 互斥事件A与B 的和，其发生的概率为5 - 31管理统统 计计学概率的加法法则 (additive rule) 法则二对任意两个随机事件A和B，它们和的概 率为两个事件分别概率的和减去两个事 件交的概率，即P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 5 - 32管理统统 计计学概率的加法法则(例题分析) 【例例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸 都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设A读读甲报纸报纸 ，B读读乙报纸报纸 ，C 至少读读一种报纸报纸 。则P ( C )
15、=P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB )=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.285 - 33管理统统 计计学条件概率与独立事件5 - 34管理统统 计计学条件概率 (conditional probability) 在事件B已经发生的条件下，求事件A发 生的概率，称这种概率为事件B发生条 件下事件A发生的条件概率，记为 P P( (B B) )P P( (ABAB) )P P( (A A| |B B) =) =5 - 35管理统统 计计学条件概率的图示事件事件 A A B B及其及其 概率概率P P ( (A A B B) )事件事件B B及其及其 概率概率P P ( (B B) )事件事件A A 事件事件B B一旦事件一旦事件B B发生发生5 - 36管理统统 计计学A+B：事件A、事件B至少有一个发生 AB：事件A、事件B同时发生 A-B：事件A发生，且事件B不发生 P（A-B）=P（A）-P（AB）5 - 37管理统统 计计学概率的乘法公式 (multiplicative rule)用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设A、B为两个事件，若P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A
