[2017年整理]2插值与拟合方法

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1、2. 插值法在生产和实验中，常常需要根据一张表格表示的函 数推算该表中没有的函数值.解决此类问题的简单途径之 一利用插值法。插值在数学发展史上是一个老问题，它是和Gauss, Lagrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初 来源于天体计算由若干观测值计算人一时刻星球的 位置。现在，插值法在工程技术和数据处理有许多直接 应用，而且也是数值积分、数值微分的基础。2.1 插值概念与基础理论2.1.1 插值问题的提法对于给定的函数表xx0x1. xn Y=f(x )y0y1 yn(其中 在a,b上连续， x0，x1，xn 是 a,b上的 n+1 个互异的点)，在某函数类(x) 中求一

2、个函数(x) ，使(xi)=yi , (i=0,1,2,n) (2)（1）并用函数(x) 作为函数 y=f(x) 的近似函数，即 y= f(x) (x) , ( xa,b ) 这类问题称为插值问题。 a,b称为插值区间， x0 , x1, . , xn 称为插值节点，（2）称为插值条件，插值条件是选 择近似函数的标准，满足此条件的近似函数 (x) 称为插值 函数， f(x) 称为被插值函数。 函数类(x) 有多种取法，常用的有代数多项式、 三角函数和有理函数。最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值 问题称为多项式插值。最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值 问题称为多项式插值。根据所给函数

3、表（1），求一个次数不高于n的多项 式Pn(x)=a0+a1x+anxn, (3)使pn(xi)=yi, （ i= 0,1,2,，n） (4)满足插值条件（4）的多项式（3），称为函数y=f(x) 在 节点x0，x1，xn处的n次插值多项式。 2.2.2 多项式插值的理论基础求的n次插值多项式的几何意义，就是上的若干个节点，作一条代数曲线来近似代替曲线。如图所示。 通过曲线a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 . (5)a0+a1xn+anxnn=yn 插值多项式的存在唯一性由插值条件（4）知，插值多项式Pn(x)的系数a0 ,a1, an满足下列线性方程组由于x

4、i互异，所以(6)右端不为零，从而方程组(5)的 解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。于是有 而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式(6)定理1 满足插值条件（4）的n次次插值多项式是存在且 唯一的。2.1.3误差估计 从前面的分析知道，用代数多项项式来近似代替曲线线。除了在节节点处处没有误误差外， 在其它点上一般都有误差。若记的截断误差（插值余项）则就是用代替定理2 设则对任意为在n+1个节点，有余项其中 任意的存在。上的n次插值多项式，（7）应当指出，余项表达式只有在 f(x) 的高阶导数存在时才能应用。 在 （a，b）内的具体位置通常不可能给出，如果我们

5、可以求出，那么插值多项式Ln(x)逼近f(x)的截断误差是(11)2.2 插值多项式的求法在前面讨论插值多项式的存在唯一性时，实际上已提供 了它的一种求法，即通过求解线性方程组来确定其系数ai (i=0,1,2,n)但是这种方法不仅计算量大，而且因不能获得简明的表 达式而给理论和应用研究带来不便。在这里我们学习两种 简便而实用的求答。2.2.1 拉格朗日插值多项式在线性代数中知道，所有次数不超过n次的多项式构 成一个n+1维线性空间。其基有各种不同的取法。因此尽 管满足条件（4）的n次插值多项式是唯一的，然而它的 表达式可以有多种不同的形式。如果取满足条件：的一组n次多项式作为上述线性空间的基

6、，则容易看出因此，由n+1个代数多项式线性生成的多项式（10）就是满足插值条件的n次插值多 项式。（10）（9）满足条件（9）的多项式称为n+1个节点的n次基本插值多项式（或n次基函数）显然，求拉格朗日多项式的关键是求n次插值基函数。因此，可设因为为n次多项式，且两种特殊的Lagrange插值多项式1.线性插值(两点插值)最简单的插值是线性插值(此时n=1), 这时插值问题就是 求一次多项式 P1(x)=a0+a1x 使它满足条件P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 ,这时于是线性插值多项式为即它就是通过M0(x0,y0)和M1(x1,y1)两点的线段.2.抛物插值线性插值仅仅用两个节点

7、以上的信息，精确度较差。为 了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题(n=2)：这时由此得到抛物插值多项式抛物插值又称三点插值.例2 已知的函数表10 11 12 13 142.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 并估计误差。分别用拉格朗日线性和抛物线插值求的近似值，2.3 分段低次插值 插值的目的是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为了得 到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多 项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论 一下这个问题。我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，n) 上 的n次插值多项式Pn (x)

8、 的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x) 充分光滑时时，余项随n增大而减少，这说明可用增加节点的方 法达到这个目的，那么实际是这样吗？1901年龙格(Runge) 给出一个例子:定义在区间-1，1上，这是一个光滑函数， 它的任意阶导数都存在，对它在-1，1上作等距节点插值时， 插值多项式情况，见图:从图中，可 见，在靠近 -1或1时， 余项会随n 值增大而增 大，如 P12(0.96)=3 6!但 f(0.96)=0.25 从图中，还可发现，在0附近插值效果是好的，即余 项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多 。这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接

9、近被 插之数的现象，称为龙格现象。上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当 的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍 入误差的增大，从而引起计算失真。那么如何提高插值精度 呢？采用分段插值是一种办法。实践上作插值时一般只用一 次、二次最多用三次插值多项式。分段线性插值的构造：设f(x)是定义在a,b上的函数，在a,b上节点a= x0 x1x2xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn 。 (x)在每个子区间xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插 值多项式;这种分段低次插值称为分段线性插值.在几何上就是用 折线段带代替曲线,故分

10、段线性插值又称为折线插值.分段线性插值曲线图：曲线的光滑性较差在节点处有尖点 但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果分段二次插值即：选取跟节点x最近的三个节点 xi-1,xi, xi+1进行二次插值，即在区间xi-1, xi+1，取 ：这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何上 就是用分段抛物线代替y=f(x)，故分段二次插值 又和分段抛物插值。什么是样条:是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函

11、数2. 4 三次样条插值-(1)定义1. 2.4.1、三次样条插值函数xi0123yi00.521.5xi1245 yi1342在科学实验中，经常需要从一组实验数据( xi,yi)出发，求函数y=f(x)的一个近似表达式 y=y(x)（通常称为经验公式）。从几何上看，就 是通过给定m个数据点，求曲线y=f(x)的一条近 似曲线y=y(x)使这条曲线尽可能与所给的m个点相吻合。2.5 曲线拟合的最小二乘法例1 考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 的记录:2.5.1 最小二乘法的提法要求出拉伸强度和倍数的关系，插值法虽然在 一定程度上，可以

12、根据函数表求函数的近似表达式 。但用来解决这里提出的问题存在明显缺陷：1. 实验提供的数据带有误差，使用插值法会保留 这些误差，从而失去原数据表示的规律。2.实验数据往往很多，用插值法得到的近似表 达式明显缺乏使用价值。为了获得便于应用的经验公式，不用插值标准 可能更合适，最小二乘法是解决这类问题的一种较 好方法。并且24个点大致分 布在一条直线附近-(1)必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差在回归分析中称为残差平方和从而确定(1)中的待定系数残差的大小可以衡量近似函数的好坏。求出 使残差的平方和最小的方法称为曲线拟合的最小二乘法或最佳平方

13、逼近。 用最小二乘法求近似函数（经验公式）的基本步骤如下： (1) 确定近似函数类,即确定近似函数 的形式。 这并非单纯的数学问题,与其它各领域的专门知识有关.数学 上,通常根据在坐标纸上所描点的情况来选择 的形式 (2) 最小二乘解。 即求使残差的平方和最小的近似函数求系数 ,使 2.5.2 最小二乘法的求法多项式拟合 设已知点求m次多项式 来拟合函数 达到最小。于是得线性方程组即当拟合函数是一元函数时，所对应的函数图形是平面 曲线。这时，数据拟合问题的几何背景是寻求一条近似 逼近给定离散点的曲线，故称为曲线拟合问题。 由于函数 达到最小,由高等数学知识有 -(3.1)方程组(3.1)称为法方程组.可以证明,该方程组有唯一解并且相应的函数 就是满足（3.1）的最小二乘解。 2.5.3 用Matlab作最小二乘拟合例2 设一发射源强度公式为 观测数据如下: 试用最小二乘法确定I与t的关系式。 解 将观测数据化为所以 即 于是