光纤传输基本理论课件

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1、第2章 光纤传输基本理论 第2章 光纤传输基本理论 2.1 光纤传输基本方程及解 2.2 多模光纤的光传输特性 2.3 单模光纤的光传输特性 2.4 光纤传输中的非线性现象 第2章 光纤传输基本理论 2.1 光纤传输基本方程及解 由于任何光信号都可分解成具有一定相对关系的单色光的组合，为了得到光纤传输的特性，我们需要导出在单色光输入情况下光纤的输出特性。本节分析光纤中光的传输特性。第2章 光纤传输基本理论 2.1.1 麦克斯韦方程与波动方程光信号在光纤中的传输由麦克斯韦方程描述，可写(2.1) 第2章 光纤传输基本理论 式中,E(r,t)、H(r,t)分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D(r,

2、t)、B(r,t)分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；Jf(r,t)为电流密度矢量，f(r,t)为电荷密度分布，是电磁场的源。当介质内传输的电磁场强度E(r,t)和H(r,t)增大时，电位移矢量D(r,t)和磁感应强度矢量B(r,t)也随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来D(r,t)=0E(r,t)+P(r,t) B(r,t)=0H(r,t)+M(r,t) (2.2) 第2章 光纤传输基本理论 式中,0为真空中的介电常数，0为真空中的磁导率；P(r,t)、M(r,t)分别为感应电极化强度和磁极化强度。对光纤这种无自由电荷的非磁性介质，Jf(r ,t)=0，f(r,t)=0，M=0，感应电极化

3、强度可表示为P(r,t)=PL(r,t)+PNL(r,t) (2.3)第2章 光纤传输基本理论 式中,PL为电极化强度的线性部分，PNL为电极化强度的非线性部分，它们与电场强度的关系为(2.4) 第2章 光纤传输基本理论 在本节，我们只考虑光纤为线性介质的情况，非线性问题留在本章第4节中讨论。假设光纤为各向同性介质，则D(r,t)=E(r,t)=0(1+(1)E(r,t) B(r,t)=H(r,t) (2.5) 第2章 光纤传输基本理论 考虑上面所提到的光纤的一些特性，光信号在光纤中传输的麦克斯韦方程可简化为(2.6) 第2章 光纤传输基本理论 考察输入为单色光的情况，光纤中任一点上的光信号的

4、场强分布可表示为E(r,t)=E(r)exp(-t) H(r,t)=H(r)exp(-t) (2.7) 将上式代入式（2.6），并作适当的变换可得 (2.8) 第2章 光纤传输基本理论 实际使用的光纤一般是弱导光纤，即纤芯和包层的折射率非常接近，在一个波长的空间范围内的变化非常缓慢，上式中的/可以忽略不计，则有 (2.9a) (2.9b) 第2章 光纤传输基本理论 其中，k0=2/，是自由空间波数，是波长，n=()1/2是介质的折射率。这就是描述光纤中光场分布的基本方程，称为波动方程或亥姆霍兹方程。这是一 个矢量方程，n只有在均匀介质中才是常数。第2章 光纤传输基本理论 2.1.2 波动方程的

5、近似解根据光纤的具体结构，利用上述矢量波动方程，原则上是可以得到某些少数特定结构的光纤中光场的精确分布。但方法烦琐，结果复杂，利用这些结果去分析光纤的色散特性很困难。本节我们通过一种标量的近似解法结合阶跃光纤进行求解。给出一些物理意义明确的结果。第2章 光纤传输基本理论 我们知道，对通信用光纤，纤芯、包层折射率相差很小，0时(即w为实数时)，场在纤芯外呈指数衰减型，在r相当大处，E(r)趋于零。这时光波封闭在光纤中传输，对应为传导模。根据式（2.14），若(2.27) 第2章 光纤传输基本理论 w成为虚数，包层中的场将成振荡型，而振幅不减小，意味着光能向外辐射，这时的光场为辐射模式。 显然，w

6、=0刚好是传导模和辐射模的分界处，将wc=0定义为传导模的截止条件。下面考察截止这种极端情况下特征方程的解。首先我们引入一个有用的参量归一化频率，定义为(2.28) 第2章 光纤传输基本理论 它与光纤的参数和传导光波的波长有关，在wc=0时，Vc=uc，分别称为归一化截止频率和归一化截止相位常数。显然，在截止条件下得到的特征函数的解uc就是所对应模式的截止条件Vc。在截止条件下，w=0，Km(w)近似为 (2.29) 第2章 光纤传输基本理论 可以证明，特征方程（2.23）的右端在任何值时都为零。于是，截止时有当uc不为0时 (2.30) (2.31) 这就是截止情况下的特征方程，由此可以解出

7、uc，确定截止条件。uc是m-1阶贝塞尔函数的根。第2章 光纤传输基本理论 当m=0时，J-1(uc)=J1(uc)=0，可解出uc=1,n-1=0，3.83171，7.01559，10.17347，这里1,n-1是一阶贝塞尔函数的第n-1个根，n=1,2,3,。显然，LP01模的截止频率为0，LP02模的截止频率为3.83171，这意味着当归一化频率V小于3.83171时，LP02模不能在光纤中传输，而LP01模总是可以在光纤中传输的。当m0时，Jm-1(uc)=0，可解出uc=m-1，n，它是m-1阶贝塞尔函数的第n个根，n=1,2,3,。对于m=1，uc=0n=2.40483，5.520

8、08，8.65373，。表2.1列出了较低阶LPmn模截止时的uc值。第2章 光纤传输基本理论 表2.1 截止时较低阶LPmn模的uc值 第2章 光纤传输基本理论 2) LPmn模远离截止时的解及其物理意义从上面对模式截止条件的分析可以看出，在光纤中，随着归一化频率V的增大，它所截止的模式的阶数也增加，即传播的模式增加。现在我们分析另一种极端情况：远离截止时的情况。随着光纤归一化频率的 增加，导波的径向归一化衰减常数w越来越大，这意味着导波在包层中径向衰减加快，导波能量往光纤纤芯 中集中，当V和w足够大时，除靠近V的几个高阶模外，导波能量基本集中在光纤纤芯当中。我们把这种状态称为远离截止的情况

9、。第2章 光纤传输基本理论 根据V的定义，当V时，比值a/，于是那些远离截止的较低阶模的衰减常数w，这时Km(w)可用大宗量下的近似式表示(2.32) 将上式代入特征方程（2.24）可得 (2.33) 第2章 光纤传输基本理论 因而远离截止时的特征方程可简化为Jm(u)=0 (2.34)远离截止时的特征值是m阶贝塞尔函数的根mn（n=1,2,3,）。表2.2中列出了mn较低阶的值。第2章 光纤传输基本理论 表2.2 远离截止时LPmn模的u值 第2章 光纤传输基本理论 综上所述，LPmn模的u值在截止时为m-1阶贝塞尔函数的第n个根，在远离截止时为m阶贝塞尔函数的第n个根，在一般情况下应在这两

10、者之间变化。由特征方 程式（2.24）并结合V的定义，用数值方法可作出一般情况下u-V的关系曲线，如图2.3所示。由该图可清楚地看出各模式的截止条件和允许的u值的范围。第2章 光纤传输基本理论 图2.3 u-V关系曲线第2章 光纤传输基本理论 上面讨论了沿y方向极化的LP模，并假定它沿圆周方向是cosm变化的。实际上还存在着与Ey垂直的x方向的极化场Ex。这两种极化波又都有选取sinm和cosm的自由。尽管它们有形式上的差别，但在弱导近似下的传播常数是相同的，可用同一组标号m、n表征，统称为LPmn模，又称之为简并模。每一个LPmn模一般有四重简并。当m=0时，sinm=0，LP0n模只有两重

11、简并。图2.4给出了LP01模和LP11模的各种可能分布。第2章 光纤传输基本理论 图2.4 LP01和LP11模电场的可能分布第2章 光纤传输基本理论 在LP模分析法中，各LPmn模的标号m、n有明确的物理意义，它们表示对应模场在光纤横截面上的分布 规律。由式（2.18）可知，LPmn模在纤芯中的横向电场分布为(2.35) 它沿圆周及半径方向的分布规律分别为 (2.36) (2.37) 第2章 光纤传输基本理论 显然，光场在圆周方向上的变化情况与m有关，当m=0时(正弦规律 ) (余弦规律 ) (2.38) 说明在圆周方向上无光场变化，在圆周方向上出现最大值的个数为0。当m=1时(2.39)

12、 第2章 光纤传输基本理论 由式（2.37）可见，光场沿径向的变化与n有关。下面以m=0为例加以说明。这时LP0n模的场沿径向按零阶贝塞尔函数的规律变化。在远离截止的情况下，对 LP01模u=01=2.40483，它沿径向的变化规律为(2.40) 第2章 光纤传输基本理论 在r=0处，R(0)=1；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2.5(a)所示。对LP02模u=02=5.52008，它沿径向的变化规律为在r=0处，R(0)=1；在r=0.4357处，R(r)=0；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2.5(b)所示，沿半径有两个最大值。可见，n表示沿半径最大值的个数。

13、第2章 光纤传输基本理论 图2.5 LP0n模的电场强度径向分布 第2章 光纤传输基本理论 2.1.3 标量场模的光功率分布计算各模式在纤芯和包层中的功率分布是有实际意义的。首先，从计算结果可以看出功率在纤芯中的集中程度。另外，实际光纤中存在损耗，这些损耗分别产生在纤芯、包层及两者的分界面上，而各部分的衰减与各部分的传输功率成正比。因此，为了计算损耗也需知道功率在光纤中的分布情况。第2章 光纤传输基本理论 将轴向玻印亭矢量分别在纤芯和包层横截面上积分，就可求出纤芯和包层中传输的功率分别为(2.42) (2.43) 第2章 光纤传输基本理论 将式（2.18）和式（2.19）代入式（2.42）得到

14、纤芯中传输的功率为(2.44) 类似地，可得包层中的传输功率为 (2.45) 第2章 光纤传输基本理论 对弱导光纤，n1n2=n，并令C=-a2A2/4Z0，则(2.46 ) 光纤纤芯中光功率与总功率之比为 (2.47) 第2章 光纤传输基本理论 在推导上式时利用了特征函数。光纤包层中光功率与总功率之比为(2.48) 利用上式可求得包层中光功率与V的关系曲线，如图2.6所示。第2章 光纤传输基本理论 图2.6 各模的包层功率与V值的关系第2章 光纤传输基本理论 下面我们讨论V和V逐渐减小两种情况下的光功率分布。V时，LPmn模的u值对应m阶贝塞尔函数的根。Jm(u)=0，且wV，所以Pcore

15、/Ptotal=1说明光功率完全集中在纤芯中。随着V值减小，高的模次逐渐截止，即w0，则 (2.49) 第2章 光纤传输基本理论 上式可进一步表示成 (2.50) 第2章 光纤传输基本理论 2.1.4 单模与多模光纤的分类及处理方法上面我们在两种极端情况下对光纤的传输特性进行了分析，可以看出，光纤中传输的模式数由归一化频率决定，当归一化频率确定后，光纤中所传输的模式数和模式分布也就确定了。一般情况下，光纤中有许多模式，每一模式有其特定的传播常数。由于模式之间的传播常数不同，各模式之间将有色散，这种色散称为模间色散。光纤的传输特性由所有能够传输的模式叠加后确定。第2章 光纤传输基本理论 根据前面

16、的分析，当光纤的归一化频率小于LP11模的截止频率时，光纤中将只有LP01模能够运行，我们将(2.51) 称为光纤的单模传输条件。因为归一化频率是工作波长和折射率分布的函数，当光纤参数确定后，只有工作波长大于某一特定波长时，光纤才能实现单模传输。我们称这个特定波长为光纤的截止波长，可表示为(2.52) 第2章 光纤传输基本理论 2.2 多模光纤的光传输特性 在上一节我们指出，用波动理论研究多模光纤的传输特性非常复杂，很难得到一些简洁的、有意义的结果。在多模光纤中，由于波长一般远小于光纤的直径，可以用射线光学来研究它的传输特性。所谓射线 光学是波长趋于0时由波动理论近似后得到的一种描述光波行为的理论。它的核心方程为射线微分方程，由 麦克斯韦方程在波长趋于0的情况下得到，可表示为第2章 光纤传输基本理论 这是矢量形式的射线微分方程，其中，r是一条光线上某代表点的矢量位置