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1、第第1212章章 参数模型功率谱估计参数模型功率谱估计 12.1 平稳随机信号的参数模型12.2 AR模型的正则方程与参数计算12.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择12.4 AR模型的稳定性与信号建模12.5 关于线性预测12.6 AR模型系数的求解算法12.7 MA模型12.8 ARMA模型12.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法12.1 平稳随机信号的参数模型经典谱估计：分辨率低（受窗函数长度的限制）;方差性能不好；方差和分辨率之间的矛盾。对平稳信号建模:用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差；也可用于信号的特征提取，预测，编码及数据压缩 等。步骤2由 的先验知识，如 ,估计
2、 的参数：步骤1假定所研究的平稳过程 是由一白噪声 序列 激励一线性系统所产生的输出；从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：即是对 建立的数学模型。参 数一旦上述系数被求出，则： 功率谱估计：随机信 号通过 LSI系 统的输 入输出 关系步骤3LSI系统的输入、输出关系：以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。差分方程卷积关系转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。谱分解 的Z域 表示待辨识 的参数 。AR（AutoRegressive，自回归）模型若：并假定：全极点模型则：MA（MovingAverage,移动平
3、均）模型若：则：全零点模型ARMA（Auto-Regressive Moving- Average,自回归移动平均） 模型极零模型 ARMA模型如果：不全 为零则：AR模型: 全极模型， 线性，用的最多，被研究的也最多，性能很好；MA模型：全零模型，看起来简单； 但是非线性；ARMA模型：极零模型，二者的综合。具体选用那一个模型，一是取决于 信号的特点，二是取决于信号处理任务 的需要，需区别对待。1 Kay S M, Marple S L. Spectrum Analysis : a modern Perspective. Proc. IEEE, 69(Nov):1380-1419,19812
4、 Makhoul J. Linear Prediction: a tutorial review. Proc. IEEE, 62(April):561-580,19753 Kay S M. Modern Spectrum Estimation: Theory and Application. 19884 Marple S L. Digital Spectrum Analysis with Application. 1987 推荐如下参考文献：12.2 AR模型的正则方程与参数计算目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数：已知参数：求解方法：由下面的差分方程入手：两边同乘 ，求均值未
5、知参数：和 的互相关因果 系统卷积 关系结果1：结果2：结合 起来正则方程 （Normal Eq.）Toeplitz 自相关阵又称 Yule- Walker 方程利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。提法：设 在 时刻之前的 个数据已知 现在希望用它们预测为了深入了解AR模型的特点，现探 讨另外一个问题，即线性预测问题：线性预测误差序列均方误差令：可以得到使 最小的 及 。不求导，使用正交原理：Wiener-Hopf Eq.：最小 预测误差功率线性预测的Wiener-Hopf Eq.注意到：对同一信号 ，都使用其 得到了两组方程：来自AR
6、模型：Yule-Walk 方程来自LP：Wiener-Hopf 方程结论：对同一信号，二者是相同的，即一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：由于所以等效的概念 应等于AR模型激励白噪声的功率 。 由LP的含意，因此AR模型也可以看作是在最小平方意义上对数的拟合；上面等效的含意是： 由于LP包含了对数据的外推，因此，对应的谱估计所用数据的范围比实际的应有扩展，因此可以提高分辨率。 线性预测器的误差序列等效于激励AR模型的白噪声序列；AR模型白化滤 波器线性预 测器Yule-Walker 方程的快速计算Levinson-Durbin快速算法： 反射 系数要求
7、解的参数：思路：利用Toeplitz 矩阵特点，由低阶 高阶零阶预 测器的 误差等 于信号 的功率递 推 公 式递推过程中，要始终保持：P 阶AR模型（LP）有三组参数：可互相导出，请给出它们互相导出的公式。都是 p+1 个AR模型基于AR模型谱估计的实现：由 估计步骤1步骤2解Yule-walker方程，得估计的模型参数步骤3尚需离 散化离散谱，用FFT计算实际计算：12.3 AR模型谱估计的性质1. AR谱的平滑特性AR模型是一 有理分式， 估计出的谱 平滑，不需 要像周期图 那样再做平 滑或平均， 因此，不需 要为此去牺 牲分辨率。2. AR谱的分辨率经典谱估计：假定：分辨率反比于 N
8、，即对间接法：分辨率还 要降低AR模型包含了对 的“预测”或“外推”。实 际上，这包含着自相关函数的“外推”。令：AR谱AR谱对应的自相 关函数 可以证明：AR模型自 相关函数 匹配性质证明：由两边做DTFT反变换：左边右边有：上式等效于Yule-Walker 方程，对同样的模型 系数 ，因此必有当 时，可以用下式外推：外推后的 对应AR谱，因此AR谱有较 高的分辨率。而经典谱估计中无外推，即： 分辨 率低注意到AR模型自相关函数的匹配：设想：如果阶次 , 则AR谱对应的自相关函 数完全等于信号的自相关函数，AR谱等于真谱。（b) p=10; (c) p=20; (d) p=30最大熵谱估计:
9、 Burg 于 1975年博士论文。Maximum Entropy Spectral Estimation，MESE）关于熵：设信源由 这 M 个 事件组成：产生 的概率是 的信息量：对数以e为底对数以2为底奈特（nat)比特（bit）单位离散型随 机变量连续型随机变量熵Burg最大熵谱估计的思路是：已知某随机信号自相关函数 的 个值，现希望以这 个值对的自相关函数予以外推。外推的方法很多 ，Burg的准则是：外推后的自相关函数对应的 时间序列具有最大的熵，即是最随机的。最大熵功率谱保证： 的递推方法很多。所以很多说明了自相互函 数的外推特点原则： 是所有各种可能外推所对应的时间序 列中最随机
10、的，即含有最大信息量（熵）。再假 定 是高斯的。在这三个条件制约下，有：3. AR模型谱的匹配性质P 阶 线性 预测从LSI系统输 入、输出关系若用AR谱去匹配信号的谱，则误差系列的谱应 由常数谱来匹配，体现 的白化性质。从AR模型和 LP等效关系p 阶AR 模型给定平稳信号 的功率谱，希望用一模型的谱来 匹配它，匹配的原则是使二者比值的积分最小。令 相对 中的参数 最小可得到最佳 Yule-Walker Eq的又一解释：当有：的真 实功率谱AR谱AR模型自 相关函数 匹配性质所以，理论上：我们可用一个全极点模型来近似已知谱 ，达到任意精度。由：增加 ，等效地扩大了 相等的部分在 内紧随（1）
11、全局跟随性质（global)因为均值为1，所以 在 上下波动（2）局部跟随性质（local)总效果： 紧随 的峰值从对整个 积分的贡 献来考虑情况多情况少紧跟 谱的峰值4. AR谱的统计性质AR谱估计的方差反比于 的长度N和SNRAR谱变为ARMA谱， 既有极点，又有零点， 分辨率会有下降。5. AR谱估计的不足若 的SNR不高，那么 可看作区别AR 模型阶次p的选择Levinson递推给出：（1）最终预测误差准则（2）信息论准则递减、恒正p12.4 AR模型的稳定性为什么有稳定性问题？式中自相关函数是估计出的，由解出：始终是稳定的能否保证取决于 R 的性质第10章已证明：若 正定，则求出的
12、保证的根都在单位圆内，且唯一。AR模型的最小相位性质结论1由线性方程组的克莱姆法则， 必 然是唯一的。关键是证明其最小相位性质。对 阶模型，预测误差功率 应为最小。 若 有一零点在单位圆外，将其反射到单位圆 内，如果 进一步减小。这就说明原来的 不是最佳的。也即，只有最小相位的 才 能构成最优的 阶线性预测器。证明：令：代入：式中：所以整个积分不为零。由此， 不是最佳 的 阶预测器。将：则：令：但是：若 由 个复正弦组成，即则：矩阵 奇异我们证明过 是非负定的，但结论1要求 是正定的。 何时 ，何时结论2纯线谱证明：标量 情况 向量 情况假定：有非零解：则：又：必有第一点得证由线性方程组理论，
13、必有：必不全为零，有非零解请自己证明即：第二点：若 由 个正弦组成， 又称纯谐波过程，则 是完全可预测的，即可以做到：结论 2 和 3 对信号建模有着重要的指导作用。 对 个复正弦，其自相关矩阵的秩为 ， 因此模型的阶次最大只能为 ，否则， 将出现矩阵奇异的现象，当然，所求出的模型 是不稳定的。对纯正弦建模时，一般要人为的 加入一些噪声，防止自相关阵奇异。结论3关于信号建模本质的讨论用白噪声 激励一个线性系统，真的能产生我们所研究的随机信号或者：并没讨论过时域信号的匹配性质，即：我们介绍过AR模型的：（1）自相关函数的匹配性质：（2）功率谱的匹配性质实际上，我们无法要求：因此，我们讨论过的信号建模是在二阶统计意义上的建模，要求的是自相关函数和功率谱这些二阶统计量的匹配。而只能做到：定义：若平稳过程 存在 阶模型，使得模型的输出 和 在 阶统计意义上一致，则称 可在 阶统计意义上准确建模。是 在 阶统计意义上准确模型； 即是自相关和功率谱匹配；做谱分解，可得 ，但由于 失去相位 信息，所以模型无穷多若 已知，由 实际上，我们可以在其它阶次的统计量上建模。阶次大于 2 的谱称为“多谱（Polyspectrum)。三阶谱定义为:三
