实验3FFT算法应用

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1、实验 3 FFT 算法的应用实验目的：加深对离散信号的 DFT 的理解及其 FFT 算法的运用。实验原理：N 点序列的 DFT 和 IDFT 变换定义式如下：， 10NknNnXkxW10NknNkxXW利用旋转因子 具有周期性，可以得到快速算法（FFT）。2jkkNe在 MATLAB 中，可以用函数 X=fft（x，N）和 x=ifft（X ，N）计算 N 点序列的 DFT 正、反变换。例 1 对连续的单一频率周期信号 按采样频率 采样，截取长度 N 分别选 N =20 和 N =16，观察其 DFT 结果的幅度谱。 解 此时离散序列 ，即 k=8。用 MATLAB计算并作图，函数 fft

2、用于计算离散傅里叶变换 DFT，程序如下： k=8;n1=0:1:19;xa1=sin(2*pi*n1/k);subplot(2,2,1)plot(n1,xa1)xlabel(t/T);ylabel(x(n);xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2)stem(n1,xk1)xlabel(k);ylabel(X(k);n2=0:1:15;xa2=sin(2*pi*n2/k);subplot(2,2,3)plot(n2,xa2)xlabel(t/T);ylabel(x(n);xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2);subplot(2,2,4)st

3、em(n2,xk2)xlabel(k);ylabel(X(k); 计算结果示于图 2.1，(a)和(b)分别是 N=20 时的截取信号和 DFT 结果，由于截取了两个半周期，频谱出现泄漏；(c) 和(d) 分别是 N=16 时的截取信号和DFT 结果，由于截取了两个整周期，得到单一谱线的频谱。上述频谱的误差主要是由于时域中对信号的非整周期截断产生的频谱泄漏。 实验内容：（1） 2N 点实数序列 nNNnnx其 它,012,.),192cos()72cos()( N=64。用一个 64 点的复数 FFT 程序，一次算出 ，并nxDFTkX2)(绘出 。)(kX（2） 已知某序列 在单位圆上的 N

4、=64 等分样点的 Z 变换为)(nx。63,.210,8.01/2kekXzNjk 用 N 点 IFFT 程序计算 ，绘出和 。)()(_IDFT)(_nx实验要求：利用 MATLAB 编程完成计算，绘出相应图形。并与理论计算相比较，说明实验结果的原因。（1） 用以下代码实现可得图 6-1 所示的 DFT 图。 N=64; n=0:2*N-1; x=cos(2*pi*7*n/N)+1/2*cos(2*pi*19*n/N); X=fft(x,128); k=n; stem(k,abs(X) grid xlabel(k);ylabel(|Xk|);图 6-1理论分析如下：由欧拉公式得： )192

5、cos()72cos( nNnnx)1 19(2)( nNjjNjj ee对 ，其 2N 点的 DFT 变换为：knNjep2120)2(120NnmkjNnmjeep 当 时， =0mk2)2()(1mkNjjep当 时，即 k由此可得 当 k=14,38,90,114 时有值其余为 0 ）kx 12(Nk， 6414398x与图 6-1 有相同的结论。（2）用以下代码可得图 6-2 N=64; k=0:N-1; X=1./(1-0.8*exp(-j*2*pi*k/N); x=ifft(X,64); n=k; stem(n,abs(x) grid图 6-2 xlabel(n);ylabel(

6、xn);理论分析如下：由 ，其 Z 变换为 可得nuax1)(azX，其 N=64 点的 DFT 为：8.0630642nnkjexk= 6426428.018.01kjkjee得 3,.,8.1)(/2keXzNjk 其 IDFT 为：nnx.0.64)6,1(比较用 IFFT 函数时，得其结果是复数求其模值与理论值进行比较得： x1=1/(1-0.8N)*0.8.n; delta=x1-abs(x)delta =1.0e-015 *Columns 1 through 9 0 0.1110 0.2220 0.1110 0.2220 0.1665 0.1110 0.0278 -0.0555Co

7、lumns 10 through 18 -0.1110 -0.0416 -0.0833 -0.0833 -0.0625 -0.0278 -0.0347 -0.0139 0.0035Columns 19 through 27 0.0035 0.0173 0.0087 -0.0347 -0.0755 -0.0668 -0.0572 -0.0100 0.0507Columns 28 through 36 0.0694 0.0982 0.1212 0.1594 0.1232 0.1231 0.1317 0.1276 0.0911Columns 37 through 45 0.0395 0.0538 0

8、.0098 0.0245 -0.0054 -0.0737 -0.0950 -0.1385 -0.1163Columns 46 through 54 -0.0917 -0.0359 -0.0523 -0.0418 -0.0133 -0.0745 -0.0846 -0.0455 -0.0836Columns 55 through 63 -0.0689 -0.0843 -0.1010 -0.0895 -0.0400 -0.0358 -0.0156 0.0387 0.0588Column 64 0.1080由此可见其 delta 值即计算值与理论值间差值极小为 。150产生复数差值最重要的原因是计算机的有效字长效应（如果按理论计算那样求和，得出来的离散信号是为实数序列） ，但由 delta 来开，其影响极小。