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1、数学分析第五节 微积分实际应用举例一、微元法三、平均值与均方根二、定积分在物理上的应用四、简单数学模型和求解 五、小 结重点：求功、压力、引力数学分析1、面积表示为定积分的步骤（3） 求和，得A的近似值一、微元法数学分析ab xyo（4） 求极限，得A的精确值提示面积元素数学分析数学分析2、微元法的步骤数学分析这个方法通常叫做微元法或元素法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等定积分的物理意义：非均匀线形物体的质量数学分析解例 1推广数学分析解法二数学分析解体积元素为例 2数学分析二、定积分在物理上的应用2、变力沿直线所作的功 3、水压力4、引力1、质量数
2、学分析0 6 x图7.5.1解例 3二、定积分在物理上的应用1、质量数学分析2、变力沿直线所作的功数学分析点击图片任意处播放暂停 解建立坐标系如图例 4数学分析这一薄层水的重力为功元素为(千焦)数学分析解 建立坐标系第一次锤击时所作的功为例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作 的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？设 次击入的总深度为 厘米次锤击所作的总功为数学分析依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为第 次击入的深度为数学分析 3、水压力数学分析解 在端面建立坐标系如图例 6数学分析数学分析
3、xy解 建立坐标系如图 任取y例 7x数学分析 4、引力数学分析解 建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为例8数学分析小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为数学分析函数 在区间 上的平均值为几何平均值公式区间长度三、平均值与均方根数学分析解设电阻为 ， 则电路中的电压为功率一个周期区间平均功率例 10数学分析结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一数学分析通常交流电器上标明的功率就是平均功 率交流电器上标明的电流值都是一种特 定的平均值，习惯上称为有效值数学分析按定义有有效值计算公式的推导即数学分析结论：正弦交流电
4、的有效值等于电流的峰值的数学分析四、简单数学模型和求解数学分析解例 10Malthus人口模型数学分析例 11Logistic人口模型数学分析数学分析利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）五、小结数学分析函数的平均值函数的有效值（理解平均功率、电流的有效值等概念）数学分析作 业 P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4)数学分析练习有一半径为的四分之一圆周，线密度为r的均匀细丝，在其圆心处 有一质量为m的质点，计算该细丝对质点的引力解 建立坐标系如图质量微元为x x+dx引力微元水平方向的分力微元数学分析x x+dx于是引力微元水平方向的分力微元:垂直方向的分力微元
