自控原理3-20100919

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1、1第三章 线性系统的时域分析法 自动控制理论中常用的工程分析方法有： 时域分析法 根轨迹法 频率特性法2 3.1 线性系统的动态性能指标 一、典型输入信号 典型输入信号：为了便于进行分析和设计，使各种控制系 统的性能有一个进行比较的基础，我们需 要假定一些基本的输入函数形式作为试验 信号，然后比较各种系统对这些试验信号 的响应，这些基本的输入函数称为典型输 入信号。 1、阶跃信号 一、典型输入信号当A=1时，则称为单位阶跃信号。2、斜坡信号当A=1时，则称为单位斜坡信号。3、抛物线信号当A =1时，则称为单位抛物线信号。4、脉冲信号单位脉冲信号的表达式为：当 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦

2、称d(t) 函数)。其中A为幅值， =2p/T为角频率。5、正弦信号6选取典型输入信号时必须考虑下列各项原则： 取的典型输入信号的形式应反映系统工作的大部分 实际情况（即常见的工作状态）； 取的典型输入信号的形式应尽可能简单，以便于分 析处理； 应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信 号作为典型输入信号。 7二、动态过程与稳态过程 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应 都由动态过程和稳态过程两部分组成。动态过程：又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号 作用下，输出量从初始状态到最终状态的响应过程 。作 用：动态过程可以提供系统稳定性的信息，以及响应速 度及阻尼情况等信息

3、。稳态过程：又称稳态响应，指系统在典型输入信号作用下，当 时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。作 用：稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度， 提供系统有关稳态误差的信息。 8三、动态性能与稳态性能 动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态 性能。动态性能指标：描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动 态过程随时间t的变化状况的指标。 * 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如 果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在 其它形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。9零初始条件：101.延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值一半所需的时间。112.

4、 上升时间tr：指响应从终值10上升到终值90所需的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从零第一次上升到 终值所需的时间。123.峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。134.调节时间ts：指响应到达并保持在终值士5内所需的最短时间。145.超调量：指响应的最大偏离量h(tp)与终值h( )之差的百分 比， 15四、瞬态分量与稳态分量对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分 量和稳态分量。 瞬态分量：由于输入和初始条件引起的，随时间的推移而 趋向消失的响应部分，它提供了系统在过度过程中的各项 动态性能的信息。稳态分量：是过渡过程结束后,系统达到平衡状态，其输 入输出间

5、的关系不再变化的响应部分，它反映了系统的稳 态性能或误差。 16一阶系统：凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。 3.2 一阶系统的时域响应 一阶系统的结构图C(s)-R(s)17在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。一、单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,其拉氏变换为 ,则输出的拉氏变换为 18 响应曲线的斜率不断下降： 经过T时间时，输出量c(T)从零上升到稳态值的63.2%； 经过3T4T时，c(t)将分别达到稳态值的95%98%。 总结：时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出

6、响应上升越快，响应过程的快速性也越好。 初始斜率为 ，若系统保持初始响应变化速度 不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。斜率1C(t)0.95T3T0.632一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应19式中，t-T为稳态分量， 为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减到零。（t0t0）二、单位斜坡响应设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为，则输出的拉氏变换为20 系统响应从t=0时刻开始跟踪输入信号而单调上升，达到稳态之后， 与输入信号同速增长，但二者之间 存在跟随误差。即T Tt tT TC(tC(t) )r(tr(t)=t)=to o一阶系统的单位斜坡响应21对上式进行拉氏反

7、变换，求得单位脉冲响应为（t0t0）三、单位脉冲响应三、单位脉冲响应设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=(t),其拉氏变换为R(s)=1, 则 输出响应的拉氏变换为系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏变换。22 一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线：0.3680.368C(tC(t) )3T3T斜率C(tC(t) )T T2T2Tt t图3-4 一阶系统的脉冲响应（t0t0） 实际认为在t=3T4T时，过渡过程结束，故系统过度过程的快 速性取决于T的值，T越小系统响应的快速性也越好。23注意：1、一阶系统的特性由参数T表述，响应时间为3-4T；T值越小，系统响应的快速性越好，精度

8、越高。2、系统对输入信号导数的响应就等系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应就等于系统 对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件 确定。其中 称为为阻尼比，n称为为无阻尼自然振荡频荡频 率.r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输出响应的拉氏变换为：二阶系统：凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3-3 二阶系统的时域响应二阶系统的特征方程为当 1当 1为两个不相等的实数根为两个相等的实数根当0系统可近似为一阶环节，极点为实际上一般误差精度情况下，当1.5时，系统可近似为一阶环节。2） =，称为临界阻尼情况此时系统有两个相等的实数特征根：s1=

9、s 2= -n根的分布如图 系统输出的拉氏变换为取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼 二阶系统的单位阶跃响应为特征：它既无超调，也无振荡， 是一个单调的响应过程；且一般 上升速度比过阻尼快。 稳态误差也为零。响应曲线如图所示，3）0-1时，系统呈振荡发散；当-1时，系统呈指数发散；根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位 阶跃响应曲线族,如图所示。由图可见，在特定值下,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地 达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。38二、欠阻尼二阶系统动态性能指标 控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量 来表示的。 除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统

10、工 作在 =0.40.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度 振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间。因此性能 指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠 阻尼工作状态进行的。 控制系统的单位阶跃响应一般来说是与初始条件有关的， 为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始 条件为零。欠阻尼二阶系统的性能指标1）上升时间tr（从0到100%c()）令c(tr)=1，就可求得结论： tr与有阻尼振荡频率wd成反比。因此wd应当越大越好。 z一定，wn必须加大； 若wn为固定值，则z越小，tr也越小。2）峰值时间tp 对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到结论：峰值时间tp与有阻

11、尼振荡频率wd成反比；当wn一定, z越小，tp也越小。到达第一个峰值时，n=1所以3）最大超调量pt= tp代入上式，可得到最大百分比超调量结论： 最大百分比超调量完全由z决定； 越小，超调量越大。 当 =时，p %= 100%， 当 =时，p % =。4） 调节时间ts 根据调节时间ts的定义 其中为误差范围是衰减曲线的包络线，所以上式可写为对上式两边求自然对数可得取0.02时，取0.05时，令，如果 0.9范围内，0.02如果 0.9范围内，或或二阶结论：如何选取和n来满足系统设计要求，总结几点如下： 当n一定，要减小tr和tp，必须减少值，要减少ts则应增 大n值，而且值有一定范围，不

12、能过大。 增大n ，能使tr ， tp和ts都减少。 最大超调量p只由决定, 越小，p越大。所以，一般根据p 的要求选择值，通过调整系统的n ，改变 调整时间ts ;在实际系统中，值一般在0.50.8之间. 例 设控制系统如图所示，其中（a）为无速度反馈系统，（b ）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.5时 的值， 并比较系统（a）和(b)阶跃响应的瞬态性能指标。47R(sR(s) )E(sE(s) )- -C(sC(s) )(a)(a)(b)(b)R(sR(s) )E(sE(s) )C(sC(s) )- - -图图3-16 3-16 例一系统结构图例一系统结构图48R(sR(s) )E

13、(sE(s) )- -C(sC(s) )(a)(a)(b)(b)R(sR(s) )E(sE(s) )C(sC(s) )- - -图图3-16 3-16 例一系统结构图例一系统结构图（秒）（秒）解:系统（a）的闭环传递函数为49峰值时间 超调量调节时间 振荡次数（秒）（秒）（秒）（秒）（次）（次）50将 代入，解得由 和 可求得通过计算可知，采用速度反馈后，可以明显地改善系 统的动态性能。 （秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）系统（b）的闭环传递函数为例 已知系统的方块图如图所示 。要求系统的性能指标为p20% ，tp1秒。试确定系统的K值和A值 ，并计算过渡过程的特征量tr 、 ts 值。与具

14、有标准形式的传递函数相比较得首先由给定的p求取相应的阻尼比，即由解得0.456及解：闭环传递函数为其次由已知条件tp1求取无阻尼自然振荡频率n， 即由解得n 3.53弧度/秒再次由解得K12.5以及由2 n 1KA解得最后计算得54例 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数K和a的值。55例 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数K和a的值。解 系统的闭环传递函数为由此得 56解得 a=3 （秒）（秒）3.3 增加零极点对二阶系统响应的影响式中q+2l=m，k+2r=n。实际的控制系统，多数是高于二阶的系统，即高阶

15、系统。高阶系 统的传递函数一般可以写成如下形式将上式写成为零极点的形式，则高阶系统的响应是由惯性环节和振荡环节(二阶系统)的单位阶 跃响应构成; 各分量的相对大小由系数Ci、Ai、和Bi决定；所以了解了各分 量及其相对大小，就可知高阶系统的瞬态响应。不失一般性，若没有重极点，则 若一对零极点互相很接近，则在输出c(t)中与该极 点对应的分量就几乎被消除。当系统是稳定的， u各分量的衰减快慢由-pi、 znini决定，也即系统极 点在S平面左半部离虚轴越远，相应的分量衰减越快。 n 各分量所对应的系数决定于系统的零、极点分布。结论：对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快 的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统 来近似估计。将靠近虚轴衰减慢的极点称为主导极点。例如以下一个五阶系统可近似看成以s1、s2为主导极点的二阶系统。解 系统的传递系数（或静态增益）为1， 系统零极点在S平面上的分布如图所示。主导极点为34j;例 假设系统的闭 环传递函数为试分析零点-2.5和极点-6对系统阶跃响应的影响。结论1：由于其他零极点离主导 极点很近，所以都不能忽略。MATLAB进行计算机仿真结果如图，p %