《2012届高一数学专题复习课件函数解析式的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高一数学专题复习课件函数解析式的求法（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.一、配凑法例1 已知 f( )= + , 求 f(x). xx+1 x2x2+1 x1f(x)=x2-x+1(x1). 解: f( )= + xx+1 x2x2+1 x1=1+ +x21 x1=( +1)2-( +1)+1 x1x1并且 1, xx+1=( )2-( )+1 xx+1 xx+1评评注: 若在给给出的函数关系式中 与 的关系不明显时显时 , 要通过过
2、恒等变变形寻寻找二者的关系.+ x2x2+1 x1 xx+1例2.已知，求解：分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对 函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。 方法一：配凑法二、换元法 方法二：令换元法注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.练习.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= .解析三、解方程组法例3 已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求 f(x). xx-1解: 记题记题 中式子为为式, 用 代替中的 x, 整理得:x
3、x-1f( )+f( )= , xx-11-x1x2x-1再用 代替中的 x, 整理得:1-x1f( )+f(x)= , 1-x11-x2-x解由 , , 组组成的方程组组, 得: 2x(x-1)x3-x2-1f(x)= . 例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.分析：如果将题目所给的 看成两个变量，那 么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于 它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求
4、f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用解方程组法求解. 思维启迪解 :（1）f（x）为二次函数，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.由已知得c=1.由、式解得b=2,a= ,c=1,f（x）= x2+2x+1.四、递推求和法例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为为不小于 2 的自然数, a0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式.解: 由已知, f(
5、3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, , f(n)-f(n-1)=an,将这这(n-2)个式子相加, 得: 评评注: 这这是运用数列中递递推公式的思想. f(n)-f(2)=a3+a4+an=n-2 (a=1 时时); a3(1-an-2)(1-a)-1 (a1 时时). f(n)= n+6 (a=1 时时); 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a1 时时). f(2)=8, 练习1.根据下列条件求二次函数解析式 (1)抛物线过点 (0,0) (1,2) (2,3)三点 解法:抛物线过一般三点通常设一般式将三点坐标代入求出a,b,c的值 解:设二次函数解析式为:y=ax2+
6、bx+c则解得：所求的抛物线解析式为:(2)抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2) 解法(一)可设一般式列方程组求a,b,c 解法(二)可设顶点式解:抛物线的顶点为(2,-1)设解析式为:y=a(x-2)2-1把点(-1,2)代入，得a(-1-2)2-1=2，(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式解:抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) 设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2解得 a=1 y=(x-2)(x+1)即:y=x2-x-2练习2:（求下列二次函数解析式）若抛物线
7、y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是直线x=2,且最高点在直线 上 .解法:可先求出顶点坐标(2,2),再由题意得解得:m=-1,n=-2.即：y=-x2+4x-2五、待定系数法例5 设设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 fg(x) 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则则可设设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比较较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x
8、)=x2-1. 评评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各 系数.又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1 . 例6 已知 fff(x)=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设设f(x)=ax+b, 则则: 六、迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由题题意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比较较系数得:
9、 a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评评注: 本题题的解法除了用迭代法, 还还用了待定系数法. 19202122七、数学归纳法 例7 已知 f(n+1)=2+ f(n)(nN+), 且 f(1)=a, 求 f(n). 1 2 解: f(1)=a f(2)=2+ a 1 2=4-21+2-1a, 故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳归纳 法证证明如下: f(5)=2+ f(4) 1 2f(3)=2+ f(2)=3+ a 1 21 4=4-20+2-2a, f(4)=2+ f(3)= + a 1 27 21 8=4-2-1+2-3a, =4-2-2+2-4a, =
10、4-22+20a, 证证明从略. 故 f(n)=4-23-n+21-na. 评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证 明, 适用于自然数集上的函数. 例8. 已知集合A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f:AB满 足f(a)+f(b)=f(c),求这样的映射共有多少个?f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0; f(a)=1,f(b)= -1,f(c)=0; f(a)=f(b)=f(c)=0;解:f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1; f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1;f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1; f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1.八
11、、映射方法例 9：九、用构造函数方法证明不等式证明 :例 10 ：29十、用构造函数方法解方程解：构造函数f(x)x2011x，则则f(x)是奇函数且为 R上的增函数，得f(3xy)f(x)0，即f(3xy)=-f(x)= f(-x) . 注意到f(x)是奇函数且为为R上的增函数， 所以 3xyx , 4xy0.30十、用构造函数方法解方程解：原方程化为为(x8)2011(x8)x2011x0,即(x8)2011(x8)(x)2011(x), 构造函数f(x)x2011x, 知f(x)是R上的单调递增函数, 原方程等价于f(x8)f(x), 而由函数的单调单调 性可知f(x)是R上的单调递单调
12、递 增函数, 于是有x8x, x4为为原方程的解.31知能迁移1设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为（ ）A.1 B.2C.3D.4求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程. 思维启迪解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解;x0时，方程f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3.答案 C分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题.如
13、本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x0时，f（x）=x的解的个数.探究提高知能迁移2 设 则fg(3)=_, =_.解析 g(3)=2,fg(3)=f(2)=32+1=7，735363738课堂练习 1.已知 f(x) 是一次函数, 且 ff(x)=4x-1, 求 f(x) 的解析式.5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x).2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. 4x+6 16x2+14.已知 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x). 6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x).7.已知 f(x
14、) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x(-6, -2) 时 f(x) 的解析式.f(x)=-2x+1 或 2x- 1 3x+5 x2-2x+2 f(x)= f(x)=x2-1(x1) f(x)= 10x - 10-x 1 32 3 f(x)=2x+ 2 5 f(x)=x2+x+1 f(x)=-x2-8x-158.已知函数 f(x)= 求 f(x+1) . x2, x0, +), , x(-, 0), 1xf(x+1)= (x+1)2, x-1, +). , x(-, -1), x+1 1 3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). 9.已知 F(x)=f(x)-g(x), 其中 f(x)=loga(x-b), 当且仅当点 (x0, y0) 在 f(x) 的图象上时, 点 (2x0, 2y0) 在 y=g(x) 的图象上(b1, a0 且 a1),
