数学分类讨论思想课件

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1、 v分类讨论思想，就是把要研究的数学对 象按照一定的标准划分为若干不同的类 别，绕后逐类进行研究、求解的一种数 学解题思想。分类思想的实质是按照数 学对象的共同性和差异性，将问题划分 为不同的种类，其作用是克服思维的片 面性，防止漏解。v引起分类讨论主要原因：（1）概念本 身是分类定义的。如绝对值、点（直线 、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概 念的分类；（2）某些公式、定理、性 质、法则的条件和范围是限制的; （3） 含有字母系数的问题，需对该字母的不 同取值范围进行讨论；v（4）题设的数量大小或关系确定，而 图形的位置或形状不确定(5)题目条件和 结论的不唯一；解答分类讨论型问题的关键是要有

2、分类讨 论的意识，克服想当然的错误习惯，注意 分类可能导致问题发生质的变化的各种情 况。解答分类讨论型问题的一般步骤是：（1）确定分类对象；（2）进行合理分类（理清分类的界限， 选择分类标准，并做到不重复、补遗漏）;（3）逐类进行讨论（4）归纳出结论分类讨论型问题常与开放探究型问题综 合在一起，不论是在分类中探究，还是 在探究中分类，都需要具备扎实的基础 知识和灵活的思维方式，对问题进行全 面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分 类讨论是中学数学中常用的一种数学思 想方法，它能考查学生的综合的数学知 识和灵活的应用能力，因此，分类讨论 型问题也是中考命题的热点之一，常出 现在中考数学的压轴题中。问

3、题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论.这称为含参型. 例4、已知Aa 2，Ba 2a5， Ca 25a19，其中a2 求证：BA0，并指出A与B的大小关系； 指出A与C哪个大？说明理由解:(1) BA（a1）2+2 0 BA （2）CA（a7）(a3) a2， a70 当2a3时， AC 当a3时， AC 当a3时， AC某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.1、已知O的半径为5cm，AB、CD是O的弦，且 AB=6cm， CD=8cm，ABCD，则AB与CD

4、之间 的距离为 。7cm或1cm2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分 别是 、 ，则BAC的度数是 。150或7503、ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若 BC=2 cm,则 A的度数是 。600或1200例5OO7、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和 3 cm两部分 ，则这个矩形的面积为 。 1133314cm2或12cm25、半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心 距为 。8cm或2cm4若O的弦 AB所对的圆心角AOB=60，则弦 AB所对的圆周角的度数为 。6、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2 ，那么另一个圆的半径是_1或5300或15008、 矩形AB

5、CD，AD=3，AB=2，则以矩形 的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱 的表面积为_ .16或21例6：1、如图，线段OD的一个端点O在 直线a上，以OD为一边画等腰三角形， 并且使另一个顶点在直线a上，这样的 等腰三角形能画多少个?150a2、在直角坐标系中，O为坐标原点， 已知 A（1，1），在x轴上确定点P， 使得AOP为等腰三角形，则符合条 件的P点共有 个4yoxA (1,1)P1(2,0)P3( ,0)P2(- ,0)P4( 1, 0 )1-1-111）、对A进行讨论2）、对B进行讨论3）、对C进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB65655

6、0CAB35 35110BAC5011020例7、在下图三角形的边上找出一点，使得 该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！例8、在ABC中，C=900，AC=3，BC=4。 若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个 公共点，则R的值为多少？ACBBACCBA分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4（2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上， 另一个交点在延长线上。 3 R4例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为 2R且和这两个圆都相切的圆有几个？例10、在劳技课上，老师请同学们在一张 长为17cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪 下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等 腰三角形的一个顶点

7、与长方形的一个顶点 重合，其余两个顶点在长方形的边上）请 你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面 积.1716(1）若顶角顶点与矩形顶点重合如图，当AE=AF=10时,SAEF= 1010=50(cm2)CBDA1716 EF(2）若底角顶点与矩形顶点重合CBDAEF如图，当EA=EF=10时,BE=6, BF= =8,SAEF= 108=40(cm2)CBDAEF如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= = ,SAEF= 10 = 5 (cm2)1 2CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2例11：在平面直角坐标系中，已知二次函数的

8、图像 与 x 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次 函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长 为2且有一个内角为60的菱形，求此二次函数的 表达式.分析：本题是数量（60的角）不确定，所以要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，因此有4种情况产生.解： 设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点E， （1）如图，当 时，因为ABCD菱形，一边长为2，所以， 所以点B的坐标为（ ，0），点C的坐标为（1，-1），解得 ，所以 图（2）如图，当 时，由菱形性质知点 A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1， ），解得 所以 同理可得：所以符合条件的二次函数的表达式有：图在有关动点的几何问题中

9、，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛CADB例12、如图图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米 ,点P从点A开始沿折线线ABCD以4厘米/秒的 速度移动动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度 移动动,如果点P和Q分别别从点A、C同时时出发发,当其中 一个点到达D点时时,另一点也随之停止运动动.设设运 动时间为动时间为 t（秒）. （1）当t为何值时，四边形APQD为矩形；PQAP=4t,CQ=t,DQ=20-t,t=4(秒)当t=4秒时，四边形APQD为矩形PCQPQPQ（2）若

10、P和Q半径都是2厘米,那么当t 为为何值时值时 ,P和Q相外切?ADBPQPCDBQPQPQPQ当t=4秒、 秒、 秒时，P和Q相外切A例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从 点D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时 出发，用t秒表示移动的时间（0t6）那么：（ 1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？QPADCB解:(1) AP=2t,DQ=t,QA=6 ，当=AP时，QAP为等腰直 角三角形，即6t=2t,解得t=2（秒）当t=2秒时， QAP为等腰直 角三角形。（2）在QAC中，S= QADC=

11、 （ 6t)12=36在APC中，S= APBC= S QAPC的面积=（6t)+6t=36(cm2)由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变。QPADCB在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时 间（0t6）那么：（2）求四边形QAPC的面积,并提出一个与计算结果有关的结论；QPADCB（3）根据题意，可分为两种情况来研究当 = 时，QAPABC，则 = ，解得t= =1.2（秒）。当t=1.2秒时，QAPABC

12、。当 = 时，PAQABC，则 = ，解得t=3（秒）。当t=3秒时，PAQABC。 当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时 间（0t6）那么：（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？例14. 如图图所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC，AD=21。动动点P从点D出发发，沿射线线DA的方向以每秒2个单单位长长 的速度运动动，动动点Q从点C出发发，在线线段C

13、B上以每秒1个单单位长长 的速度向点B运动动，点P，Q分别别从点D，C同时时出发发，当点Q运 动动到点B时时，点P随之停止运动动。设设运动动的时间为时间为 （秒）。（1 ）设设BPQ的面积为积为 S，求S与t之间间的函数关系式； （2）当线线段PQ与线线段AB相交于点O，且BO=2AO时时，求（3）当t为为何值时值时 ，以B、P、Q三点为顶为顶 点的三角形是等 腰三角形？的正切值；(4)是否存在时刻t，使得PQBD？若存 在，求出 t的值；若不存在，请说明理由 。解：（1）如图图1所示，过过点P作 ， 垂足为为M，则则四边边形PDCM为为矩形。（2）如图图2所示，由得：图图图1小 结分类讨论的思想方法实质：是根据数学对象的共同性和差异性 ，将其分为 不同种类的思想方法；作用：能把较复杂的、陌生的问题转化成 几个较简单的问题，可考察学生思维的周密 性，克服思维的片面性；原则：(1)分类按同一个标准；(2)各部分之间相互独立； (3)分类讨论应逐级进行