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1、第三章 数 列3.1 数列的概念与简单简单 表示法要点梳理1.数列的定义按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序基础础知识识 自主学习习2.数列的分类分类类原则则类类型满满足条件 按项项数分类类有穷穷数列 项项数无穷穷数列 项项数按项项与项间项间 的大小关系 分类类递递增数列an+1 an其中 nN*递递减数列an+1 an常数列an+1=an 按其他 标标准分类类有界数列存在正数M，使|an|M摆动摆动 数列an的符号正负负相间间，如 1，-1，1，-1，有限无限3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是 、和 .4.数列的通项公式如果数列an的第n项an
2、与 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号nan=f(n)S1Sn-Sn-1an-1an+1an-1an+1基础础自测测1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是 （ ）A. B. C. D.解析 由数列与函数的关系知对，由数列的分类知不对，数列的通项公式不是惟一的，不对. C2.数列1， ，的一个通项公式an是（ ）A. B. C. D.解析 1可以写成 ，分母为3，5，7，9
3、，即2n+1,分子可以看为13,24,35,46,故为n(n+2)，即 .此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故排除A、B、C，从而选D.D3.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*),则a100等于 （ ）A.1B.-1C.5D.-5解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，4，.由此可得a100=a166+4=a4=-1.方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1，两式相加可得an+3=-an，an+6=an，
4、a100=a166+4=a4=-1. B4.若数列an的前n项和Sn=n2-1,则a4等于( ）A.7B.8C.9D.17解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7. A5.数列an中， ，Sn=9，则n= .解析99题型一 由数列的前几项写数列的通项公式【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）-1，7，-13，19，（2）0.8，0.88，0.888，（3）（4）（5）0，1，0，1， 题题型分类类 深度剖析思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系.解 （1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表示，
5、其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).（2）将数列变形为(3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 ,原数列可化为(4)将数列统一为 对于分子3，5，7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为cn=n2+1因此可得它的一个通项公式为（1）由数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求
6、.（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 探究提高知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，（2）（3）（4）3，33，333，3 333，解（1）因为各项是从4开始的偶数，所以an=2n+2.（2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为21，22，23，24，25，故所求数列的一个通项公式可写为 . （3）由于带有正负号，故数列可以用（-1）n+1来调整，而后去掉负号，观察可得.将第二项-1写成 .分母可化为3,5,7,9,11,13,为正奇数，而分子可化
7、为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，故其一个通项公式可写为（4）将数列各项改写为 ，分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，,所以题型二 由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件，确定数列an的通项公式.（1）a1=1，an+1=3an+2；（2）a1=1，an+1=（n+1）an；（3）a1=2，an+1=an+（1）构造等比数列；（2）转化后利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解.解 （1）an+1=3an+2，an+1+1=3（an+1），数列an+1为等比数列，公比q=3,又a1+1=2,an+1=23n-1，an=23
8、n-1-1.思维启迪探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；当出现 时，用累乘法求解.知能迁移2 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式.（1）a1=1,an=an-1+3n-1 (n2);（2）a1=1,an= an-1 (n2).解 （1）an=an-1+3n-1 (n2),an-1=an-2+3n-2,an-2=an-3+3n-3,a2=a1+31.以上（n-1）个式子相加得an=a1+31+32+3n-1
9、=1+3+32+3n-1= .题型三 由Sn与an的关系求通项an【例3】（12分）已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2,n N*),a1= ,求an.由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n2)代入等式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推得数列 具有等差数列的特征，进而求得Sn，再得an. 思维启迪解 当n2, nN*时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，解题示范3分4分8分数列的通项an与前n项和Sn的关系是,此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn 求an时方法却是高度统一.当n2时求出an也适合 n
10、=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.探究提高12分知能迁移3 已知下列数列an的前n项和Sn,求an的通项公式：（1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b.解 （1）a1=S1=2-3=-1，当n2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n）-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5，由于a1也适合此等式，an=4n-5.（2）a1=S1=3+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b-1时，a1不适合此等式.当b=-1时，an=23n-1;当b-1时，题型四 数列的性质【例4】已知数列的通项公式为
11、 .（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.（1）令an=0.98,看能否求出正整数n;（2）判断an+1-an的正负.解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足 =0.98，n2=0.98n2+0.98.n=7时等式成立，0.98是它的项. 思维启迪此数列为递增数列.（1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小. 探究提高知能迁移4 已知数列an的前n项和Sn=-n2+24n （nN*）.（1）求an的通项公式；（2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解 （1）n=1时，a1=S1
12、=23.n2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证，a1=23符合an=-2n+25,an=-2n+25（nN*）.（2）方法一 Sn=-n2+24n，n=12时，Sn最大且Sn=144.方法二 an=-2n+25，an=-2n+250，有n .a120，a130，故S12最大，最大值为144. 方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=思想方法 感悟提
13、高3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：（1）算出前几项，再归纳、猜想；（2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ =p(an+ ),由待定系数法求出 ，再化为等比数列；（3）逐差累加或累乘法.4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇.失误误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分
14、子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是 （）A.14B.12C.13D.15解析 易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1+2+3+n= .易得n=13时，最后一项为第91项，n=14共有14个，故第100项为14.A定时检测时检测2. 已知数列an中，a1=b (b为任意正数)，an+1= (n=1,2,3,)，能使an=b的n的数值是（）A.14B.15C.16D.17解析 a1=b,a2= ,a3= ,a4=b,此数列的周期为3,能使an=b的n的数值满足n=3k-2 (kN*).C3.在数列an中，a1=1,anan-1=an-1+ (-1)n(n2,nN*),则 的值是（）A. B. C. D.解析 由已知得a2=1+(-1)2=2,a3a2=a2+(-1)3,a3= , a4= +(-1)4,a4=3,3a5=3+(-1)5,a5= ,C4.已知数列an的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为（）A.91B.152C.218D.279解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.B5.已知数列an满足a1=0,an+1= (nN*)，则a20等于（）A.0 B. C. D.解析 a2
