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1、第三章 数 列3.1 数列的概念与简单简单 表示法要点梳理1.数列的定义按照 排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序基础础知识识 自主学习习2.数列的分类分类类原则则类类型满满足条件 按项项数分类类有穷穷数列 项项数无穷穷数列 项项数按项项与项间项间 的大小关系 分类类递递增数列an+1 an其中 nN*递递减数列an+1 an常数列an+1=an 按其他 标标准分类类有界数列存在正数M,使|an|M摆动摆动 数列an的符号正负负相间间,如 1,-1,1,-1,有限无限3.数列的表示法:数列有三种表示法,它们分别是 、和 .4.数列的通项公式如果数列an的第n项an
2、与 之间的关系可以用一个公式 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号nan=f(n)S1Sn-Sn-1an-1an+1an-1an+1基础础自测测1.下列对数列的理解有四种:数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数;数列的项数是有限的;数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是 ( )A. B. C. D.解析 由数列与函数的关系知对,由数列的分类知不对,数列的通项公式不是惟一的,不对. C2.数列1, ,的一个通项公式an是( )A. B. C. D.解析 1可以写成 ,分母为3,5,7,9
3、,即2n+1,分子可以看为13,24,35,46,故为n(n+2),即 .此题也可用排除法求解,只需验证当n=1时,A选项为 ,B选项为 ,C选项为 ,均不为1,故排除A、B、C,从而选D.D3.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*),则a100等于 ( )A.1B.-1C.5D.-5解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,.由此可得a100=a166+4=a4=-1.方法二 an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得an+3=-an,an+6=an,
4、a100=a166+4=a4=-1. B4.若数列an的前n项和Sn=n2-1,则a4等于( )A.7B.8C.9D.17解析 a4=S4-S3=42-1-(32-1)=7. A5.数列an中, ,Sn=9,则n= .解析99题型一 由数列的前几项写数列的通项公式【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,(2)0.8,0.88,0.888,(3)(4)(5)0,1,0,1, 题题型分类类 深度剖析思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系.解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,
5、其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)将数列变形为(3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 ,原数列可化为(4)将数列统一为 对于分子3,5,7,9,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,联想到数列1,4,9,16,即数列n2,可得分母的通项公式为cn=n2+1因此可得它的一个通项公式为(1)由数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求
6、.(2)由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 探究提高知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,(2)(3)(4)3,33,333,3 333,解(1)因为各项是从4开始的偶数,所以an=2n+2.(2)由于每一项分子比分母少1,而分母可写为21,22,23,24,25,故所求数列的一个通项公式可写为 . (3)由于带有正负号,故数列可以用(-1)n+1来调整,而后去掉负号,观察可得.将第二项-1写成 .分母可化为3,5,7,9,11,13,为正奇数,而分子可化
7、为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,故其一个通项公式可写为(4)将数列各项改写为 ,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,,所以题型二 由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件,确定数列an的通项公式.(1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an+1=(n+1)an;(3)a1=2,an+1=an+(1)构造等比数列;(2)转化后利用累乘法求解;(3)转化后利用累加法求解.解 (1)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,an+1=23n-1,an=23
8、n-1-1.思维启迪探究提高 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现 时,用累乘法求解.知能迁移2 根据下列各个数列an的首项和基本关系式,求其通项公式.(1)a1=1,an=an-1+3n-1 (n2);(2)a1=1,an= an-1 (n2).解 (1)an=an-1+3n-1 (n2),an-1=an-2+3n-2,an-2=an-3+3n-3,a2=a1+31.以上(n-1)个式子相加得an=a1+31+32+3n-1
9、=1+3+32+3n-1= .题型三 由Sn与an的关系求通项an【例3】(12分)已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2,n N*),a1= ,求an.由已知条件可将an=Sn-Sn-1(n2)代入等式,得关于Sn与Sn-1的一个等式,经变形推得数列 具有等差数列的特征,进而求得Sn,再得an. 思维启迪解 当n2, nN*时,an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,解题示范3分4分8分数列的通项an与前n项和Sn的关系是,此公式经常使用,应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别,但已知Sn 求an时方法却是高度统一.当n2时求出an也适合 n
10、=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.探究提高12分知能迁移3 已知下列数列an的前n项和Sn,求an的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.解 (1)a1=S1=2-3=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,由于a1也适合此等式,an=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b-1时,a1不适合此等式.当b=-1时,an=23n-1;当b-1时,题型四 数列的性质【例4】已知数列的通项公式为
11、 .(1)0.98是不是它的项?(2)判断此数列的增减性.(1)令an=0.98,看能否求出正整数n;(2)判断an+1-an的正负.解 (1)假设0.98是它的项,则存在正整数n,满足 =0.98,n2=0.98n2+0.98.n=7时等式成立,0.98是它的项. 思维启迪此数列为递增数列.(1)看某数k是否为数列中的项,就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.(2)判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小. 探究提高知能迁移4 已知数列an的前n项和Sn=-n2+24n (nN*).(1)求an的通项公式;(2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解 (1)n=1时,a1=S1
12、=23.n2时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证,a1=23符合an=-2n+25,an=-2n+25(nN*).(2)方法一 Sn=-n2+24n,n=12时,Sn最大且Sn=144.方法二 an=-2n+25,an=-2n+250,有n .a120,a130,故S12最大,最大值为144. 方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=思想方法 感悟提
13、高3.已知递推关系求通项:这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三种常见思路:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ =p(an+ ),由待定系数法求出 ,再化为等比数列;(3)逐差累加或累乘法.4.创新内容:体现新情境,体现与其它知识的交汇.失误误与防范1.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分
14、子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征,应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.一、选择题1.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的第100项是 ()A.14B.12C.13D.15解析 易知数字为n时共有n个,到数字n时,总共的数字的个数为1+2+3+n= .易得n=13时,最后一项为第91项,n=14共有14个,故第100项为14.A定时检测时检测2. 已知数列an中,a1=b (b为任意正数),an+1= (n=1,2,3,),能使an=b的n的数值是()A.14B.15C.16D.17解析 a1=b,a2= ,a3= ,a4=b,此数列的周期为3,能使an=b的n的数值满足n=3k-2 (kN*).C3.在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+ (-1)n(n2,nN*),则 的值是()A. B. C. D.解析 由已知得a2=1+(-1)2=2,a3a2=a2+(-1)3,a3= , a4= +(-1)4,a4=3,3a5=3+(-1)5,a5= ,C4.已知数列an的前n项和Sn=n3,则a5+a6的值为()A.91B.152C.218D.279解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.B5.已知数列an满足a1=0,an+1= (nN*),则a20等于()A.0 B. C. D.解析 a2