概率论与数理统计概率统计

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计随机事件及其概率随机现象的结果称为事件.描述事件发生可能性的大小的 数称为概率.概率论就是研究随机事件的概率.如何求随机事件的概率（二）运用概率模型（一）运用频率方法求事件概率对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的试验者抛掷次数 正面次数 正面频率Buffon404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005计算机2400001199280 .4997计算机2400000 1200065 0 .50002概率论与数理统计正面概率：0.5Menu 概率论与数理统计当随机试验的每一种可能

2、出现的结果出现的可能性相 等时，那么关于该试验的事件的概率容易确定。Menu 古典概型（等可能概型） 古典概型的两个基本特点: （1）所有可能的结果只有有限个;（有限性） （2）每个可能的结果发生都是等可能的.（等可能性）古典概型的经典案例：抛硬币、抛骰子古典概型的概率公式:P(A)=事件A包含的结果数/试验可能出现的所有结果数排列数与组合数概率论与数理统计Menu 从n个不同的元素中，任取k个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出k个元素的一个排列 。从 n 个不同元素中，任取 k 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合写出从标记有a , b ,

3、 c , d 四个球中任取三个球的所 有组合及排列.组合排列abcabdacdbcdabc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb概率论与数理统计Menu 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概型.概率论与数理统计Menu 几何概型一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m 的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.30m2mA20m概率论与数理统计现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子

4、出现的点 数是偶数，这信息对你的判断是否重要？这时你有多少把 握断定它是2点？抛掷一颗质量均匀的骰子 ，那么押中2的概率是多少？ Next 条件概率的定义条件概率的定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。概率论与数理统计Back 概率论与数理统计10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等 品，4件二等品.现从这10件中任取一件,若知道它是正品， 那它是一等品的概率是多少？解：记A=取到一等品， B=取到正品，则P(A )=3/10，P(A|B )=P(AB)/P(B)=3/7.概率论与数理统计乘法公式乘法公式由条件概率的定义：若已知条

5、件概率, 可以反求P(AB).即若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可 通过条件概率计算两个事件同时发生的概率.一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决. 入场 券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”概率论与数理统计Next 到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每

6、个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”概率论与数理统计我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则 表示“第i个人未抽到入场券”概率论与数理统计因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，由于由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：概率论与数理统计Back 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理

7、，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2 个人都没有抽到. 因此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的 概率都是1/5.也就是说，概率论与数理统计抽签不必争先恐后某一事件A的发生有各种可能的原因 Bi(i=1,2,n),如果A是由原因Bi所引起， 则A发生的概率是每一原因Bi都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生的概率的总 和，即全概率公式.全概率公式：概率论与数理统计为了了解一只股票在一定时期内的价格变化, 常 常会去分析影响价格的基本因素, 如利率的变化。假 设利率下调的概率为60,利率不变的概率为40。根 据经验，在利率下调

8、时该股票价格上涨的概率为80, 在利率不变时该股票价格上涨的概率为40, 求该股 票上涨的概率.解：设A=利率下调, B=股票价格上涨,则P(A)=0.6, P(B|A)=0.8. 由全概率公式，得概率论与数理统计两个事件的独立性在某些特殊情形，有P（BA）= P（B），即事件A的发生与否并不影响到B发生的概率，有一种“独立”的意味。为此，引进事件的独立性概念。概率论与数理统计把一枚硬币任意的抛掷两次，事件A=“第一次出现 正面”，事件B=“第二次出现正面”。问P(B|A)和P(B) 相等吗？甲、乙两人向同一目标射击， 问P(B|A)和P(B)相等吗？若两事件A、B 满足P(AB)= P(A)

9、P(B) 则称A、B 相互独立.在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.概率论与数理统计事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.炮兵营的两名战士同时向敌机炮击,已知 甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率.解设 A= 甲击中敌机 B= 乙击中敌机 C=敌机被击中 依题设,概率论与数理统计由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 故有 概率论与数理统计多个事件的独立性概率论与数理统计从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件 出现的概率不受其余一个或几个事件

10、出现与否的影响.概率论与数理统计设随机试验只有两种可能结果：事件A 发生 或事件A不发生，则称这样的试验为伯努利试 验.将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n 次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试 验（伯努利概型）.抛硬币1000次.抛骰子24次，每次观察1是否出现.如果在一次试验中，事件A出现的概率为p (0p1), 则在n重伯努利试验中，A恰好出现 k 次的概率为：概率论与数理统计伯努利定理现在抛一枚质量均匀的硬币3次，求出现正面2次的概率。概率论与数理统计一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10个病人中至少有4个痊愈才认为该新药有效。求虽然新药有效，且使病人的痊愈率提升为0.35，但却被试验否定的概率.新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.作业题:姚明罚篮的命中率为80.9%,若姚明在某次比中获得4次罚球机会,假设每次投篮都互不影响,那么他投中3次的可能性有多大?概率论与数理统计概率论与数理统计