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1、4.1.2 圆的一般方程1.掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化.2.会用待定系数法求圆的一般方程.3.了解几种求轨迹方程的方法. (1)形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,化为标为标 准方程为为_.(2)条件：_,圆圆心为为_,半径为为_.特别别地,当D2+E2-4F=0时时,方程表示点：_.当D2+E2-4F0不表示任何图图形1.“判一判”理清知识识的疑惑点(正确的打“”,错误错误 的打“”).(1)平面内任一圆圆的方程都是关于x,y的二元二次方程.( )(2)圆圆的一般方程和圆圆的标标准方程可以互化.( )(3)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆圆.( )(
2、4)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆圆,则则E0.( )提示：(1)正确.因为 可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0,均是关于x,y的二元二次方程.(2)正确.圆的一般方程与圆的标准方程可以互化.(3)错误.少了条件D2+E2-4F0.(4)正确.因为D2+E2-4F=4+E2-40,则E0.答案：(1) (2) (3) (4)2.“练练一练练”尝试尝试 知识识的应应用点(请请把正确的答案写在横线线上).(1)圆圆的标标准方程(x-1)2+(y-3)2=1化为为一般方程为为 .(2)若圆圆的一般方程为为x2+y2+4x+2=0,则圆则圆 心坐标为标为 ,半径为为 .(3)若方程x2+y
3、2-x+y+m=0表示圆圆的方程,则则m的取值值范围围是 .【解析】(1)因为(x-1)2+(y-3)2=1,所以x2+y2-2x-6y+9=0.答案：x2+y2-2x-6y+9=0(2)因为x2+y2+4x+2=0化为标准方程为(x+2)2+y2=2,所以圆心为(-2,0),半径为 .答案：(-2,0) (3)因为方程x2+y2-x+y+m=0表示圆的方程,所以(-1)2+12-4m0,所以m0,通常情况下先配成(x-a)2+(y-b)2=m,通过观察m与0的关系,说明方程是否为圆的一般方程,而不要死记条件D2+E2-4F0.类型 一 二元二次方程与圆圆的关系尝试尝试 完成下列题题目,归纳归
4、纳 一个关于x,y的二元二次方程表示圆圆的两种判断方法.1.(2013晋江高一检测检测 )方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图图形是( )A.以(1,-2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆B.以(1,2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆C.以(-1,-2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆D.以(-1,2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆2.方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆圆?若能表示圆圆,求出圆圆心和半径.【解题指南】1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与半径.2.本题可直接利用D2+E2-4F0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.【解析】1
5、.选D.将方程x2+y2+2x-4y-6=0化为(x+1)2+(y-2)2=11,因此,圆心为(-1,2),半径为 .2.方法一：由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,当m=2时,D2+E2-4F=0,它表示一个点,当m2时,D2+E2-4F0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为方法二：原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点,当m2时,原方程表示圆的方程.此时,圆的圆心为(2m,-m),
6、半径为r= |m-2|.【技法点拨】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.提醒：在利用D2+E2-4F0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.类型 二 圆圆的一般方程的求法通过过解答下列求圆圆的一般方程的题题目,试总结试总结 用待定系数法求圆圆的一般方程的步骤骤及两种方程形式选择选择 的标标准.1.过过点(-1,1),且圆圆心与圆圆x2+y2-6x-8y+
7、15=0的圆圆心相同的圆圆的方程是 .2.已知一个圆过圆过 P(4,2),Q(-1,3)两点,且在y轴轴上截得的线线段长为长为 ,求圆圆的方程.【解题指南】1.根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出的方程求解.2.设出圆的一般方程,由圆过P,Q两点可得两个方程,再根据圆在y轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出圆的方程.【解析】1.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由已知该圆圆心为(3,4),且过点(-1,1),故 所以圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-6x-8y=02.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.令x=0,得y2+Ey+F=0
8、.由已知|y1-y2|=4 ,其中y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.将P,Q两点的坐标分别代入方程,得解联立的方程组,得故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或【互动探究】若题2条件不变,试判断原点(0，0)与圆的位置关系.【解析】(1)若圆的方程为x2+y2-2x-12=0,因为02+02-20-12=-120,所以原点(0，0)在圆内.(2)若圆的方程为因为所以原点(0,0)在圆外.【技法点拨】1.待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的
9、方程组.(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.2.对圆的一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F.提醒：当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程;条件与点有关时,常设圆的一般方程.【拓展类型】与圆圆有关的轨轨迹问题问题 试试着解答下列题题目,体会求轨轨迹方程的一般步骤骤及常用方法.1.(2013惠州高二检测检测 )若RtABC的斜边边的两端点A,B的坐标
10、标分别为别为 (-3,0)和(7,0),则则直角顶顶点C的轨轨迹方程为为( )A.x2+y2=25(y0) B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y0) D.(x-2)2+y2=252.已知ABC的边边AB长为长为 4,若BC边边上的中线为线为 定长长3,求顶顶点C的轨轨迹方程.【解题指南】1.根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求解.2.建立适当的坐标系,易知C不能在AB上,设BC中点为点D.C,B,D三点为相关点,利用代入法(也称相关点法)求解.【解析】1.选C.线段AB的中点为(2，0)，因为ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为 |AB|=5,
11、所以点C(x,y)满足 =5(y0),即(x-2)2+y2=25(y0).2.以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC中点D(x0,y0).所以因为|AD|=3,所以(x0+2)2+ =9，将代入,整理得(x+6)2+y2=36.因为点C不能在x轴上，所以y0.综上，点C的轨迹是以(-6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(-12, 0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y0).【技法点拨】1.用代入法求轨迹方程的一般步骤2.求轨迹方程的几种常用方法(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐
12、标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆等),可用定义直接求解.(3)相关点法：根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法：若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.【变式训练】(2013珠海高二检测)两直线ax+y=1与x-ay=1的交点的轨迹方程是_.【解题指南】分x0且y0和x=0且y=0求解.【解析】当x0且y0时，两直线方程化为所以 化为x2+y2-x-y=0.当x=0且y=0时满足上式，故交点的轨迹方程为x2+y2-x-y=0.答案：x2+y2
13、-x-y=01.圆圆x2+y2-4x+6y=0的圆圆心坐标标是( )A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3)【解析】选D.圆的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,故圆心坐标为(2,-3).2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆圆( )A.关于x轴对轴对 称 B.关于原点对对称C.关于直线线x-y=0对对称 D.关于直线线x+y=0对对称【解析】选D.圆的方程化为(x+a)2+(y-a)2=2a2,圆心(-a,a).由圆心坐标易知圆心在x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.3.点P(1,1)与圆圆x2+y2-2x+2y=0的位置关系是(
14、 )A.在圆圆外 B.在圆圆内C.在圆圆上 D.不确定【解析】选A.因为12+12-21+21=20,所以点P在圆外.4.方程x2+axy+y2+bx+ y+7=0是圆圆的一般方程,则则a=_;b的取值值范围围是 .【解析】要使方程表示圆的一般方程，需答案：0 (-,-5)(5,+)5.若圆圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线线l：ax+4y-6=0对对称,则则直线线l的斜率是 .【解析】圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y-6=0对称,则直线l通过圆心(3,-3),故3a-12-6=0,解得a=6,故斜率k=- .答案：-6.判断下列二元二次方程是否表示圆圆的方程?如果是,求出圆圆的圆圆心坐标标及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0.(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.【解析】(1)方程4x2+4y2-4x+12y+9=0,可化为x2+y2-x+3y+ =0,又1+32-4 =10,可知此方程表示圆.圆心为 半径为 .(2)方程4x2+4y2-4x+12y+11=0可化为x2+y2-x+3y+ =0,又1+32-4 =-10,可知此方程不表示圆.
