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1、 函数奇偶性的判断 在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对 解决问题是有利的；二是判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f( x)0(偶函数)是否成立，这样能简化运算如本题中(4)，判断f(x)f(x)0是 否成立，要方便得多本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同 子集有不同对应关系的函数分段函数奇 偶性的判断，要分别从x0或x0)，则一定是周期函数因为图象 关于xa(a0)对称，则f(ax)f(a
2、x) 成立，所以f(2ax)fa(ax)fa (ax)f(x)f(x)，所以周期为2a.【变式练习4】 f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x 3)f(3x)若x(0,3)时，其解析式 为yx21，求x(6，3)时，函 数f(x)的解析式【解析】因为f(x)在R上是奇函数， 所以f(6x)f3(3x)f3(3x) f(x)f(x)， 所以f(x)f(x6) 当x(6，3)时，x6(0,3)， 所以f(x6)(x6)21， 则f(x)x212x37(x(6，3)1.若函数y(x1)(xa)为偶函数， 则a_【解析】由f(1)f(1)，得02(1 a)，所以a1. 13.已知定义在R上的奇函数f
3、(x)满足f(x2) f(x)，则f(6)的值为_【解析】方法1：因为f(x)是奇函数， 所以f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0， 所以f(6)f(4)f(2)f(0)0. 方法2：因为f(x4)f(x2)f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数 又因为f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0， 所以f(6)f(2)f(0)0.04.已知f(x)是R上的奇函数，当x0时， f(x)2xlog2x，求函数f(x)的解析式 5.已知函数f(x)对一切x、yR都有f(x y)f(x)f(y) (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(3)a，用a表示f(12)1函数的奇偶性是函数在其定
4、义域上的整体性质，定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件因此，判断函数的奇偶性，一要 看定义域是否关于原点对称；二要看 f(x)与f(x)的关系2判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关 于原点对称，若不对称，则该函数为非奇 非偶函数；若对称，则看解析式能否化简 ，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x) 与f(x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象， 根据图象的对称性得出结论，一般分段函 数的奇偶性的判断多用图象法 3奇函数f(x)如果在x0处有意义，则 必有f(0)0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点4如果一个函数既是奇函数又是偶函 数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称5函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的 规律值得注意的是周期函数不一定存在最 小正周期注意以下几个常用结论：
