《单个总体均值方差的检验》由会员分享，可在线阅读，更多相关《单个总体均值方差的检验（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 概率论与数理统计主讲教师：关 丽北京工业大学应用数理学院第八章 假设检验8.1 基本概念下面，我们讨论不同于参数估计问题的 另一类统计推断问题根据样本提供的信 息，检验总体的某个假设是否成立的问题。这类问题称为假设检验。假设检验参数检验非参数检验总体分布已知情 形下，检验未知 参数的某个假设总体分布未知情形 下的假设检验问题先看一个例子。例1：某工厂生产 10 欧姆的电阻，根据以往生 产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值 X服从 正态分布 N(, 0.12)。现在随机抽取10个电阻, 测得它们的电阻值为: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5,
2、 10.1, 10.2. 问: 从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平 均值 = 10 欧姆? 确定总体：记 X 为该厂生产电阻的测量值， 则 X N(, 0.12)； 明确任务：通过样本推断 “X 的均值 是否等于10欧姆”； 假设：“X 的均值 =10”这一假设是否成立?I. 如何建立检验模型原假设的对立面是 “ X 的均值 10” ，称为 “对立假设” 或 “备择假设”，记成 “ H1: 10”。把原假设和对立假设合写在一起，就是:H0： =10； H1： 10.在数理统计中，把 “ X 的均值 =10” 这样 一个待检验的假设记为 “原假设” 或 “零假设”, 记成 “ H0： =10”
3、。II. 解决问题的思路因样本均值是 的一个很好的估计。所 以，当 =10，即原假设 H0 成立时, 应比较小； 如果该值过大, 想必 H0 不成立。 于是，我们就用 的大小检验 H0 是否 成立。合理的做法应该是：找出一个界限 c，这里的问题是：如何确定常数 c 呢？细致地分析: 根据定理 6.4.1，有于是，当原假设 H0：=10 成立时，有为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 = 0.05。当原假设 H0: =10 成立时，有于是，我们就得到如下检验准则:为原假设 H0 的拒绝域。用以上检验准则处理我们的问题，所以，接受原假设 H0:=10。 因为，当原假设是 H0: =10 成
4、立时，所以，当 很小时，若 H0 为真(正确), 则检 验统计量落入拒绝域是一小概率事件 (概率很 小，为 )。前面我们曾提到：“通常认为小 概率事件在一次试验中基本上不会发生”。III. 方法原理 那么，如果小概率事件发生了，即: 发生, 就拒绝接受 H0 成立，即认为 H0不成立 。IV. 两类错误与显著性水平 当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了正 确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了，这 就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。因为检验统计量总是随机的，所以，我 们总是以一定的概率犯以上两类错误。
5、通常用 和 记犯第一、第二类错误的概 率，即在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类 错误都总是不可避免的，并且减少犯第一类 错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率 ;反之亦然。所以，犯两类错误的概率不能同 时得到控制。8.2 正态总体均值的假设检验8.2.1 单正态总体 N(, 2)均值 的检验1. 双边检验 H0: = 0；H1: 0 假设 2已知，根据上节中的例1，当原假 设 H0: = 0 成立时，有 在应用上，2未知的情况是常见的。此 时，和前面不同的是：常用样本方差 S2代替 未知的2 。以上检验法称作 U 检验法。当 2未知时，根据基本定理 6.4.1 ，当原 假设 H0: = 0
6、 成立时，有 此检验法称作 t 检验法。解：n=10, =0.05, 0=10，t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，例1(续例 8.1.1) : 假设2未知，检验所以，接受原假设 H0: =10. H0: =10；H1: 10.上一段中， H0:=0 ; H1: 0 的对立假 设为 H1: 0 , 该假设称为双边对立假设。2. 单边检验 H0: =0; H1: 0 而现在要处理的对立假设为 H1: 0, 称为 右边对立假设。类似地，H0: =0; H1: 0 在2未知情况下，当原假设 成立时，例 2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是 绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正
7、 态分布，且该厂原来生产的绳子指标均值 0 =15公斤，采用一种新原材料后,厂方称这种 原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所 承受的最大拉力 比15公斤增大了。为检验该厂的结论是否真实，从其新产 品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大 拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5 公斤。取显著性水平 =0.01。问从这些样本 看：能否接受厂方的结论。解：问题归结为检验如下假设H0: =15; H1: 15 (2未知)于是，从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实 提高了绳子所能承受的最大拉力。利用样本方差 S 2是2的一个无偏估计， 且 (n-1)S2/ 2 2n-1 的结论。8.3.1
8、 单个正态总体方差的 2 检验设 X1, X2, , Xn 为来自总体 N( , 2) 的样 本， 和 2未知，求下列假设的显著性水平为 的检验。思路分析: 1. H0: 2 =02；H1: 2 02 8.3 正态总体方差的检验当原假设 H0: 2 = 02成立时，S2和02应 该比较接近，即比值 S 2/02应接近于1。所以, 这个比值过大或过小 时，应拒绝原假设。合理的做法是: 找两个合适的界限 c1 和 c2 , 当 c1 02 例1：某公司生产的发动机部件的直径 (单位: cm) 服从正态分布，并称其标准差 0=0.048 。现随机抽取5个部件，测得它们的直径为 1.32, 1.55,
9、 1.36, 1.40, 1.44. 取=0.05，问: (1). 能否认为该公司生产的发动机部件的直径的标准差确实为= 0? (2). 能否认为 0?解: (1). 的问题就是检验H0: 2 = 02; H1: 2 02. 其中，n=5， =0.05，0=0.048.故，拒绝原假设 H0 ，即认为部件直径标准 差不是 0.048 cm。 经计算，得 S2=0.00778,故，拒绝原假设 H0，即认为部件的直径标准 差超过了 0.048 cm。 (2). 的问题是检验H0: 2 02 ; H1: 2 02.小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然 后讨论正态总体均值的各种假设检验问题， 给出了检验的拒绝域及相关例题。
