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1、第八章第八章 欧氏空间欧氏空间8.1 向量的内积8.2 正交基8.3 正交变换8.4 对称变换和对称矩阵 课外学习9：实现正交化过程的新方法在几何学中（编者按在几何学中（编者按: :在数学中），没有专门为国在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。王设置的捷径。 -欧几里德欧几里德(Euclid ,(Euclid ,约前约前325 - 325 - 约前约前265)265)8.1 向量的内积一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间
2、、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离 2掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与 的内积，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间 3掌握 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式 的灵活运用. 一些不等式8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 1)2) 3) 4) 当时, 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 有一个确定的记作 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 这里是V的任意向量，a是任意实数， 那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称
3、欧氏空间）.叫做向量与的内积，而V叫做对于例1 在规定 里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例2 在规定 里,对于任意向量不难验证 , 也作成一个欧氏空间. 例3 令Ca,b是定义在a,b上一切连续实函数我们规定所成的向量空间,根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)-4)都被满足,因而Ca,b作成一个欧氏空间.例4 令H是一切平方和收敛的实数列所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法: 设 规定 向量 的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间. 练习 为向量空间中任意两向量,证明: 对作成欧氏空间的充分必要条件是
4、m 0, n 0. 8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角定义义2 设是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根叫做的长度，向量的长度用符号表示：定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 有不等式 (6) 当且仅当与线性相关时，上式才取等号.定义3 设与是欧氏空间的两个非零向量， 与的夹角由以下公式定义：例5 令 是例1 中的欧氏空间. 中向量 的长度是由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量 和 任意实数a,有 注：一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的绝对值与的长度的乘积.例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于任意实数 有不等式 (7) (7)式称为柯西(Cauchy
5、)不等式.例7 考虑例3的欧氏空间Ca,b，由不等式（6）推出，对于定义在a,b上的任意连续函数 有不等式 (8) (8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式. 例8 设 为欧氏空间V 中任意两个(1) 当且仅当 的夹角为0; 非零向量.证明:(2) 当且仅当 的夹角为; 8.1.3 向量的正交 定义4 欧氏空间的两个向量与说是正交的,如果定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量中每一个正交， 那么与 的任意一个线性组合也正交. 与思考题1：设 是 n 维欧氏空间V 中证明: 两个不同的向
6、量,且 思考题2：在欧氏空间 中,设 两两正交,且 的长度 求 A 的行列式 的值. 8.2 正交基 一、内容分布 n8.2.1正交组的定义、性质 n8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性n8.2.3子空间的正交补 n8.2.4正交矩阵的概念 n8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的：n1准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念 及基本性质 n2能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个 标准正交向量组n3能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及 基本性质，并会求某些子空间的正交补n4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系n5掌
7、握n维欧氏空间同构的概念及基本理论 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间 的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法8.2.1正交组的定义、性质 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 1正交组的定义例1 向量构成 一个标准正交组，因为 例2 考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间（参看8.1例3），函数组的一个正交组。(1) 1，cosx, sinx, ,cosnx ,sinnx,构成上一切连续事实上，我们有把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C0，2的一个标
8、准正交组 2正交组的性质定理8.2.1 设 一个正交组，那么 线性无关. 是欧氏空间的证：设有 使得 因为当ij 时 ，所以 但 ，所以 即 线性无关. 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 1标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有n 个向量构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基，叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交级，那么就称这个基是一个规范的正交基。例2 欧氏空间 的基是 i =1,2,n,的一个标准正交基. 如果 正交基。令是V的任意一个向量那么是可是是n 维欧氏空间V的一个标准以唯一写成 是关于 的坐标。由于
9、是规范正交基，我们有（3） 这就是说，向量关于一个规范正交基的第i个坐标等于与第i个基向量的内积；其次，令 那么 （4） 由此得 （5） （6） 2标准正交基的性质设 是的一个基，但不一定是正交基 问题就解决了,因为将 再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 的一个基。先取我们考虑线性组合 从这里决定实数a， 使 正交，由 及 得 取 那么 又因为 线性无关，所以对于任意实数 a因而这就得到 的一个正交基 3标准正交基的存在性 定理8.2.2（施密特正交化方法) 设 是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求 使得 可以由 线性表示
10、，k = 1,2,m. 出V 的一个正交组 证 先取 那么 是 的线性组合，且 其次取 又由 所以 正交。 假设1 k m，而满足定理要求的 都已作出. 那么是 的线性组合，并且因为 线性无关，所以 取所以 是 的线性组合。由于假定了 i = 1, 2, , k -1，所以把这些线性组 合代入上式，得 的线性组合，线性无关，由 得 又因为假定了 两两正交。这样， 也满足定理的要求。所以定理得证。 定理8.2.3 任意n（n 0）维欧氏空间 一定有正交基，因而有标准正交基.例4 在欧氏空间 中对基 施行正交化方法得出 的一个标准正交基. 解:第一步，取第二步，先取然后令第三步，取 再令于是 就是
11、 的一个规范正交基。 练习1 设 试把 的基的一个基,并将它标准正交化. 扩充成8.2.3 8.2.3 子空间的正交补子空间的正交补 1. 向量与一个非空子集正交 定理8.2.4 令W是欧氏空间V的一个有限维 子空间，那么因而V的每一个向量可以唯一写成这里(7)设令证明 当W = 0时，定理显然成立，这时 设由于 W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基那么而由于是W的基，所以与W正交，这就证明了即剩下来只要证明这个和是直和。这是那么从而定理被证明。 显然的，因为如果证明 对于任意 所以定理8.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间， 是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么对
12、于W 中任意向量， 都有 于是如果 那么 所以 即我们也把向量在子空间W上的正射影叫做W 到的最佳逼近。例5 考虑上一切连续实 函数所作成的所生成的子空间.由例2 看到,欧氏空间令W是由以下2n + 1个函数1, cosx, sinx, cosnx, sinnx是W的一个规范正交基. W的每一元素都可以写成 (8) 的形式. 叫做一个n次三角多项式. 设我们求一个n次三角多项式 使得 的值最小. 用欧氏空间的语言来说就是：求 使得 这正是上面所说的W 对于f (x)的最佳逼近问题. 最小.因此,所求的 应该是f(x)在W上的正射影.由定理8.2.4,我们有与等式(8)作比较,我们得到 从而k
13、= 1,2,n.注意到cos0x = 1,我们有系数 叫做f (x)的富利叶系数. 8.2.4 8.2.4 正交矩阵的概念正交矩阵的概念 定义2 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵，如果 定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另 一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例6 设 是欧氏空间V的标准正交 基，且 证明：当T是正交矩阵时, 是标准正交基. 练习2 设 标准正交基,证明: 也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别1n维欧氏空间同构的定义定义3 欧氏空间V与 说是同构的，如果 (i) 作为实数域上向量空间，存在V 到 的一个同构映射(i
14、i) 对于任意 ，都有 2n维欧氏空间同构的概念及判别定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等.推论8.2.8 任意n维欧氏空间都与 同构. 思考题 求的解空间W的一个标准正交基.的一个标准正交基. 并求其正交补8.3 正交变换一、内容分布8.3.2 正交变换的等价条件8.3.1 正交变换的定义1掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件 3掌握并会用正交矩阵的某些性质 二、教学目的：2掌握的正交变换的全部类型三、重点难点：正交变换的概念及几个等价条件 8.3.3 的正交变换的类型8.3.3 的正交变换变换 的类类型8.3.1 8.3.1 正交变换的定义正交变换的定
15、义定义1 欧氏空间V的一个线性变换叫做一个 正交变换，如果对于任意 都有例1 在 里,把每一向量旋转一个角的 的一个正交变换. 线性变换是 例2 令H是空间 里过原点的一个平面.对于 每一向量 ，令对于H的镜面反射 与它对应. 是 的一个正交变换. 例3 欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要 条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切 ,都有.8.3.2 正交变换的等价条件 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换是正交 变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量， . 证明 条件的充分性是明显的. 因为（1）中 取 =，就得到 ，从而 .反 过来，设是一个正交变换，那么对于,V，我们有 然而由于比较上面两个等式就得到：定理8.3.2 设V 是一个n维欧氏空间，是V 的一 个线性变换，如果是正交变换，那么把V 的任 意一个标准正交基仍旧变成V 的一个标准正交基； 反过来，如果把V 的某一标准正交基仍旧变成V 的一个标准正交基，那么是V 的一个正交变换.定理8.3.3 n 维欧氏空间V的一个正交变换关于V 的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来 ，如果V的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵 是正交矩阵，那么是一个正交变换.例5 在欧氏空间 中,规定线性变
