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1、1数列重点综合题型总结永远的神玖最后的神玖专题六排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点聚焦】考点 1：排列、组合的概念，排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；考点 2：二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题；考点 3：利用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，利用互拆事件的加法公式一些事件的概率，利用独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.【自我检测】1、 叫做从 n 个不同元素中取出个元素的一个排列，排列数 _=_.mnA2、 叫做从 n 个不同元素中取出 m 元素的一个排列，组合数 _=_.nC3、
2、组合数的性质：（1） ， （2） .mmnC14、 二项式定理的内容是.其通项为 .1rT5、 二项式系数的性质是（1）（2）（3）.6、 在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生叫做事件 A 的概率，记作.7、 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率P（A）.8、 叫做互斥事件，对立事件.设A，B 是互斥事件，P （AB ） .P（ ） .9、 ，这样的两个事件叫做相互独立事件.设 A、B 是相互独立事件，则 P（AB）.10、若 n 次独立重复试验中，每次试验结果的概率则称这 n
3、 次试验是独立的.在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=_.【重点 难点 热点】问题 1：排列组合应用题2数列重点综合题型总结永远的神玖最后的神玖解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置） ，再考虑其他元素（或位置） ；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.例 1：在AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外)，连同 O点共 m+n+1 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1211211 C D. CC
4、. B A nmnnmn 思路分析：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第一类办法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任取两点，可构造一个三角形，有 C C 个；12n第二类办法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点，与 O 点
5、可构造一个三角形，有 C C 个；第三类办法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 从 OA 边上(不包括 O)任取一点2m1n与 OB 边上 (不包括 O)中任取一点，与 O 点可构造一个三角形，有 C C 个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n由加法原理共有 N=C C +C C +C C 个三角形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1m2n1mn解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 从 m+n+1 中任取三点共有 C 个，其中三点均在射线 OA(包括 O 点)，有 C31个，
6、三点均在射线 OB(包括 O 点) ，有 C 个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 所以，个数为 N=C C C31 n 31nm3个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C点评：本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2：四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 思路分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp
7、:/wxjkygco 解法一，采用处理分堆问题的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解：（法一）分两步 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 先将四名优等生分成 2，1，1 三组，共有 C 种；而后，对三24组学生安排三所学校，即进行全排列，有 A33 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 依乘法原理，共有 N=C =36(种) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3A（法二）分两步 头h
8、tp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有 A 种；而43数列重点综合题型总结永远的神玖最后的神玖后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有 3 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 值得注意的是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因此，共有 N= A 3=36(种) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 34点评：本题主要考查排列、组合、乘法原理概
9、念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有 3A 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 忽略此种办法是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 将同在一所学校的两名学34生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 演变 1：四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在
10、同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的 4 个仓库存放这 8 种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）A96 B.48 C.24 D.0点拨与提示：本题考查了排列组合综合运用问题，可以画出四棱锥标出 8 个数字帮助直观分析，注意分类要全面准确,抓住问题实质. 演变 2：4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分，答错得100 分；选乙题答对得 90 分，答错得90 分.若 4位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是（ ）A48 B36 C24 D18点
11、拨与提示：注意对甲进行分类讨论.问题 2：求展开式中的系数二项式系数是指二项展开式中出现的组合数 ；系数是指每一项前的系),210(rn数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理.例 3： 展开式中第 6 项与第 7 项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和nx)21(系数绝对值最大的项.思路分析：先求出 n 的值，再由二项式系数的最大项是“最中间”的项，求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对值最大项.解： ，依题意有 ，n=8. 则 展616515 )2(,)2(xCTxTnn 652nnCnx)21(开式中二项式系数最大的项为 .x10485设第 r+1 项系数的绝对值
12、最大，则有4数列重点综合题型总结永远的神玖最后的神玖.65,652188 rZrrCrr 或又 则系数绝对值最大项为 .6756192,xTx点评：求展开式中某一项或某一项的系数问题是高考题型之一，复习时要给予重视.演变 3：如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是321()nx 31xA.7 B. C.21 D.721点拨与提示：本题考查二项展开式的性质.演变 4：已知 的展开式中 的系数与 的展开式中 的系数相等，则5)1cos(x2x4)5(x3xcos点拨与提示：分别求出 x2 和 x3 的系数.问题 3：求复合事件的概率对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互
13、斥的事件的和或求其对立事件的概率.例 4：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 假设两人射击是否击中目标，23.4相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；（）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；（）假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有 3 次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的
14、概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解：(1)记“甲连续射击 4 次至少有一次末中目标”为事件 A1，由题意知，射击 4 次，相当于作 4 次独立重复试验，故 =)(1)(PA.86532(4答：甲连续射击 4 次至少有一次末中目标的概率为： .（2）记“甲射击 4 次，恰有 2 次射中目标”为事件 A2， “乙射击 4 次，恰有 3 次射中目标”为事件 B2，则P ， 78)31()(224CA 627)1()3)(42CBP5数列重点综合题型总结永远的神玖最后的神玖由于甲乙射击相互独立，故 .816427)()(22 BPAP答：两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 .（3）记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3“乙第 i 次射击末中”为事件 Di（I=1,2,3,4
