具有约束的逻辑函数的化简

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1、1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简之前我们所讨论的n变量逻辑函 数的特点是：对于任何一组输入变 量的取值组合，函数都有唯一确定 的值与之相当对应，这是一种完全 描述的逻辑函数。还有一种非完全描述的逻辑函 数，又称为具有约束的逻辑函数。一、 约束的概念和约束条件(1) 约束：指输入变量取值之间相互制约的关系。1. 约束、约束项、约束条件例：为庆祝三八妇女节，某单位为女职工包场了专 场电影，检票处本单位女职工凭票入场。试分析此 逻辑问题。分析：设A=0-外单位职工； A=1-本单位职工B=0-男职工；B=1-女职工C=0-无票； C=1-有票Y=0-禁止入场；Y=1-允许入场 A B CY说

2、说明0 0 000 0 1不可能0 1 00 0 1 1不可能1 0 001 0 1不可能1 1 001 1 11因前提是电影票只发给本单位的女职工，故001、011、101 这三种组合不可能出现-A、B、C之间存在制约关系。(2) 约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。上例中，变量A、B、C是一组有约束的变量。由有约束的变量所决定的逻辑函数称为具 有约束的逻辑函数。上例中，因 001、011、101不会出现，故是函数Y的三个约束项。约束项性质：最小项性质-当对应变量取值 组合出现时，其值为1，否则为0；约束项所对应的变量取值组合是不会出现 的或禁止出现的，因而约束项的值恒等于0。(3)

3、约束条件： 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。由约束项相加所构成的逻辑表达式。约束项：约束条件：或2. 约束条件的表示方法例如，上例中 ABC 的不可能取值为001、011、101在真值表和卡诺图上用叉号()表示。A B CY0 0 000 0 10 1 00 0 1 11 0 001 0 11 1 001 1 11ABC00001 11 10100100二、 具有约束的逻辑函数的化简化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约 束条件，可以使表达式大大简化。1. 约束条件在化简中的应用(1) 在公式法中的应用：可以根据需要加上或去掉约束项而使结果简化。例上例中，若不考虑约束条件，则 Y

4、 = ABC-逻辑意义？现加上约束条件本单位的女 职工可入场当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些 约束项应该加上，哪些应该去掉。则：-逻辑意义？只 验 票 不 看 人利用约束条件化简逻辑函数时，必须遵循 逻辑条件，否则可能会出现逻辑错误。(2) 在图形法中的应用：根据需要，在画包围圈时包含或去掉约束项，可 使函数最简。例化简函数 Y = ABC，约束条件解 画出三变量函数的卡诺图ABC010001 11 10 先填最小项，再填约束 项，其余填 0 或不填。1000 利用约束项合并最小 项，使包围圈更大。 写出最简与或式包围圈中含有约束项 ，相当于在最小项“1” 中加入了“0”，因而函 数不会受

5、到影响。02. 变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，只要有一个变量取值为 1，则其 他变量的值就一定是 0，称之为互相排斥的变量 。ABC010001 11 101011例 函数 Y 的变量 A、B、C 是互相排斥的，试用图 形法求出 Y 的最简与或表达式。解 由题意： 约束条件不 能 忘 记 了 ！例1 化简逻辑函数化简步骤: 画函数卡诺图：ABCD00 01 11 1000 01 11 10先填 1 01 1100 00 0 0画圈合并最小项： 既可以当 1 ，又可以当 0 写出最简与或表达式：解三、 化简举例例2 化简逻辑函数约束条件解 画函数卡诺图ABCD00 01 11 100

6、0 01 11 10 1111 合并最小项 写出最简与或表达式 及约束条件合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到 的包围圈最大且个数最少为原则。注意：应用举例:学校举行联欢会，要求：学生凭学生证 入场；教师凭工作证入场。试分析该逻辑关系。解 ：设A=0-学生；A=1-教师B=0-无工作证；B=1-有工作证C=0-无学生证；C=1-有学生证Y=0-允许入场；Y=1-禁止入场可见，变量Y是关于有约束的变量 A、B、C的逻辑函数。逻 辑 约 定A B CY说说明0 0 000 0 110 1 0 不可能0 1 1不可能1 0 001 0 1不可能1 1 011 1 1 不可能ABC0100

7、01 11 100011逻辑意义：只要持有工作证或学生证即可入场 。前提：教师拥有学生证或学生拥有工作证是 不允许的。综上：凡是利用约束条件化简的逻辑表达式，必 须在约束条件成立的情况下才能真实完全地反应 所描述的逻辑，否则根据最简表达式作出的逻辑 判断就会出现逻辑错误。1.3 逻辑函数的表示方法及其相互转换1. 3. 1 几种表示逻辑函数的方法一、逻辑表达式用与、或、非等运算表示函数中各个变量 之间逻辑关系的代数式子，称为逻辑表达式。如：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变 换。 缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出 函数的值。二、真值表将变量的各种取值与相应的函数值，以

8、 表格的形式一一列举出来。ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1优点：直观明了，便于将实际逻 辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运 算和变换；变量较多时， 列函数真值表较繁琐。三、卡诺图ABC010001 11 1011110000优点 ：便于求出逻辑函数的 最简与或表达式。缺点：不适于表示和化简变量 个数较多的逻辑函数。真值表的一种方块图表示形式。ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1四

9、、逻辑图ABYC&优点：逻辑图中的 逻辑符号，都有实 际电路器件存在， 因而最接近工程实 际。缺点： 不能进行运算 和变换，逻辑关系 不直观。&1用逻辑符号来表示函数表达式中各个变 量之间的运算关系的电路图。例画出函数 的逻辑图五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间按 照一定逻辑规律变化的图形。ABY优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上 的对应关系。缺点： 当变量个数增多时，画图较麻烦。1. 3. 2 几种表示方法之间的转换一、真值表函数式逻辑图转换举例1 有一举重裁判电路 。当一名主裁判A 和两名副裁判B 、C中有两人以上(必有主裁判) 认定运动员的动作合格时，试举 才算成功。

10、真值表函数式ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 1 1 1解卡诺图化简 ABC010001 11 1011010000 函数式逻辑图A B Y&C&1转换举例2 当输入变量A、B、C取值中有奇数个1时 ，输出变量Y=1，否则Y=0。且输入变量不会出现全0 的情况。解 列真值表ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1函数式化简得： 函数式逻辑图（P35)真值表函数式二、逻辑图0 1 10ABY00 01 10 11BA

11、 &第一章 小 结一、数制和码制一、数制和码制 1. 数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）种 类类基 数位 权权应应 用备备 注十进进制0 910i日常二进进制0 ，12i数字电电路2 = 21八进进制0 78i计计算机程序8 = 23十六进进 制0 9，A F16i计计算机程序16 = 242. 码制：常用的 BCD 码有 8421 码、2421 码、5421 码、余 3 码等，其中以 8421 码使用最广泛。各种数制之间的相互转换，特别是十进制 二进制的转换 ，要求熟练掌握。二、常用逻辑关系及运算二、常用逻辑关系及运算 1. 三种基本逻辑运算：与 、或、非 2. 五种复合逻辑运算：

12、与非 、或非、与或非、 异或、同或。三、逻辑代数的公式和定理三、逻辑代数的公式和定理 是推演、变换和化简逻辑函数的依据。 其中，摩根定理最为常用。如 求函数 的反函数，并化简。 解四、逻辑函数的化简四、逻辑函数的化简化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑 电路简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有公式 化简法和图形化简法两种。1. 公式化简法：可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟 练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理， 并要求具有一定的运算技巧和经验。2. 图形化简法：简单、直观，不易出错，有一定的步骤和 方法可循。但是，当函数的变量个数多于 六个时，就失去了优点，没有实用价值。约束

13、项： （无关项）可以取 0，也可以取 1，它的取值对逻辑函 数值没有影响，应充分利用这一特点化简 逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。五、逻辑函数常用的表示方法五、逻辑函数常用的表示方法 ： 真值表、卡诺图、函数式、 逻辑图和波形图。它们各有特点，但本质相同，可以相互 转换。尤其是由真值表 逻辑图 和 逻辑图 真值表， 在逻辑电路的分析和设计中经常 用到，必须熟练掌握。练习 1 完成下列数制和码制之间的相互转换128 16 4 2 1512 128 64 16 8 4 232 8 2 132 4 116 8 4 1练习 2 用公式法将下列函数化简为最简与或式。练习 3 用图形法将下列函数化简为最简与或式。（1）