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1、1 / 19 大学数学实验作业线性规划班级：姓名：学号：日期：2 / 19 目录【实验目的】 . 3【实验内容】 . 3题目 1（课本习题第八章第6 题） . 3【问题描述】 . 3【模型建立】 . 4【模型求解及结果分析】 . 5【拓展实验、思考、对比、分析】 . 11【本题小结】 . 13题目 2（课本习题第八章第9 题） . 14【问题描述】 . 14【模型建立】 . 15【模型求解及结果分析】 . 17【拓展实验、思考、对比、分析】 . 18【本题小结】 . 19【实验心得、体会】 . 19 注：本实验作业脚本文件均以ex8_6_1形式命名，其中ex 代表作业， 8_6_1 表示第八章
2、第六小题第一个程序3 / 19 【实验目的】1.掌握用 MATLAB 优化工具箱和LINGO 解线性规划的方法；2.练习建立实际问题的线性规划模型。【实验内容】题目 1（课本习题第八章第6 题）【问题描述】某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1 所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50% 的税率纳税。此外还有以下限制：表 1证券名称证券种类信用等级到期年限 / 年到期税前收益 /% A市政2 9 4.3 B代办机构2 15 5.4 C政府1 4 5.0 D政府1 3 4.4 E市政5 2 4.5 (1) 政府及代办机构
3、的证券总共至少要购进400 万元；(2) 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；(3) 所购证券的平均到期年限不超过5 年。若该经理有1000 万元资金，应如何投资？如果能够以2.75%的利率借到不超过100 万元资金，该经理应如何操作。在 1000 万元资金情况下， 若证券 A 的税前收益增加为4.5%， 投资应否改变？若证券 C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？4 / 19 【第问求解】【模型建立】该题为约束线性规划问题，其模型包含决策变量、目标函数和约束条件。决策变量 ：设 A, B, C, D, E 五种证券购进的金额分别为12345,xxxxx
4、（单位：万元）。目标函数 ：设所有购进证券的税后总收益为z（万元），则有：123450.0430.50.0540.50.050.50.0440.045zxxxxx（万元）。约束条件 ：资金上限：123451000xxxxx；购进数量：234400xxx；平均信用等级：12345123452251.4xxxxxxxxxx；平均到期年限：12345123459154325xxxxxxxxxx；非负约束：12345,x xxxx均为非负。整理后得到如下基本模型：12345max0.0430.0270.0250.0220.045zxxxxxs.t.123451000,xxxxx234400,xxx12
5、3450.60.60.40.43.60,xxxxx12345410230,xxxxx12345,0.x xxxx模型整理，将前面分析得到的线性优化模型化为如下形式：5 / 19 1112max. .Tzc xstA xbvxv其中， x =x1,x2,x3,x4,x5,?将目标函数系数以及各约束条件的数值代入标准形式，可得各参数数值分别为：c = 0.043 0.027 0.025 0.022 0.045T111111011100.60.60.40.43.6410123A1100040000Tb100000Tv其中maxTzc x，等价于求0minTzc x，再令0zz【模型求解及结果分析】根
6、据已经建立好并化为标准形式的模型，利用Matlab 优化工具箱对该模型进行求解。（1）编写运行代码如下：%-作业题 8_6脚本 M文件源程序 ex8_6_1-clc; clear all ;% 输入目标函数系数，加负号将求极大化为求极小c=-0.043 0.027 0.025 0.022 0.045;% 输入约束条件中矩阵A的值A1=1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3; % 输入约束条件中矩阵b的值b1=1000 -400 0 0; % 输入约束条件中下界v1的值v1=0 0 0 0 0; % 利用优化工具箱解线
7、性规划6 / 19 x,z0,exitflag,out,lag=linprog(c,A1,b1,v1) z = -z0 % 查看 lag 的具体值，用作后续分析lag.ineqlin,lag.upper,lag.lower 得到运行结果为x =218.1818 0.0000 736.3636 0.0000 45.4545 Z0 =-29.8364 exitflag=1 （收敛）out =iterations: 6（迭代次数）algorithm: large-scale: interior point （所使用的算法为内点法）cgiterations: 0（PCG迭代次数，只在大规模算法中有用）
8、message: Optimization terminated. lag.Ineqlin= 0.0298,0,0.0062,0.0024T（对应于不等式约束 A1x b1的拉格朗日乘子）lag.upper= 0,0,0,0, 0T（对应于上界约束 x v 2的拉格朗日乘子）lag.lower= 0,0.0302,0,0.0006,0T（对应于下界约束 v1x的拉格朗日乘子）Z = 29.8364 由以上结果可以得到，若该经理有1000 万元资金，当证券A 的购进量为218.1818 万元，证券 C的购进量为 736.3636 万元，证券 E 的购进量为 45.4545万元，其余证券购进量为0
9、 时，目标函数 z 取得最大值 29.8364 万元。【第问求解】若以 2.75% 的利率借到不超过100 万元资金对模型修改如下：7 / 19 决策变量 ：设A, B, C, D, E 五种证券购进的金额分别为12345,x xxxx，以2.75% 的利率借到金额为6x（单位：万元）目标函数：123456max0.0430.0270.0250.0220.0450.0275zxxxxxx约束条件： s.t.1234561000,xxxxxx234400,xxx123450.60.60.40.43.60,xxxxx12345410230,xxxxx6100,x123456,0.x xxxxx编写
10、程序如下：%-作业题 8_6脚本 M 文件源程序 ex8_6_2-clc; clear all ;% 输入目标函数系数，加负号将求极大化为求极小c=-0.043 0.027 0.025 0.022 0.045 -0.0275;% 输入约束条件中矩阵A的值A1=1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;4 10 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1; % 输入约束条件中矩阵b的值b1=1000 -400 0 0 100; % 输入约束条件中下界v1的值v1=0 0 0 0 0 0; % 利用优化工具箱解线性规划x,z0,exi
11、tflag,out,lag=linprog(c,A1,b1,v1) z=-z0 % 查看 lag 的具体值，用作后续分析lag.ineqlin,lag.upper,lag.lower 8 / 19 输出结果如下：x =239.999999999999 4.5606345839793e-014 809.999999999999 1.55045506242682e-013 49.9999999999999 99.9999999999987 Z0 =-30.07 z =30.07 在此情况下应将投资方案调整为：以2.75% 的利率借 100万元资金 ,然后证券 A的购进量为 240万元，证券 C的购进量为 810万元，证券 E的购进量为 50万元，其余证券购进量为0，此时收益最大，为30.07万元。【第问求解】证券 A 的税前收益增加为4.5% 对模型修改如下：12345max0.045
