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1、主要内容第十三讲 方阵的对角化v相似矩阵的概念和性质； v方阵与对角阵相似的条件； v对称阵的特征值与特征向量的性质，利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的方法. 基本要求v了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似对角化的充要条件. v了解对称阵的特征值与特征向量的性质，掌握利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.1一、相似矩阵的概念第三节 相似矩阵1. 概念的引入已知矩阵 ,求 .我们可以找到一个可逆矩阵 ，相似矩阵使22. 相似矩阵的概念定义 设 都是阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使则称 是 的相似矩阵，或称矩阵 与 相似.对 进行运算 称为对 进行相似变换， 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.3说
2、明 能对角化最突出的作用表现在 的多项式的计算上.若存在可逆矩阵 ，使 ( 为对角阵)则有这表明 的多项式可通过同一多项式的数值计算 而得到. 当 能对角化时，可以容易证明下面结论： 设 是 的特征多项式，则 .4二、相似矩阵的性质 定理3 若 是 的相似矩阵，则 也是 的相似矩阵. 若 与 相似，则它们的行列式相等： . 若 与 相似，则 与 也相似.若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特 征多项式相同，从而 与 的特征值也相同.相似， 若 阶矩阵 与对角阵则 即是 的 个特征值.证明证明5说明 推论表明，若 ，则 的对角元必定是 的全部特征值. 于是在不计较 的对 角元次序的意义下， 由 惟一
3、确定.问题： 可逆矩阵 是不是也由 确定？ 能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵 能对角化的“特性”？ 定理3的逆命题不成立的. 若矩阵 和 的特征值相同，它们可能相似，也可能不相似.例如6对 阶矩阵 ，三、方阵可对角化的充要条件1. 方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵 ，使这就称为把方阵 对角化.说明如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则 可对角化； 如果找不到这样可逆矩阵 ，则 不可对角化.72. 定理的引入设有可逆矩阵 ，使 为对角阵. 下面 回答 能否由 确定.8这表明 的第 个列向量 是 的对应于特征值 的特征向量，因而 由 和 确定， 也就是由 确定. 由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不
4、是惟一确定的.9反过来，是依次与之对应的特征向量，则设矩阵 的 个特征值为 ，当 可逆，即 线性无关时，有这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和 特征向量来刻画.103. 方阵可对角化的充要条件定理4 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化) 的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.推论 若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.说明当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无 关的特征向量，从而不一定能对角化； 但是，有 重根时，也有可能能对角化. 所以 特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件.11例1 设问 为何值时，矩阵能对角化？ 解 析：此例是定理4的应用. 定理4表明：阶
5、矩阵 可对角化有 个线性无关特征向量. 由此可推得另一个充要条件： 对 的每个不同的特征值 ， 的重数 =对应于 的线性无关特征向量的个数12所以的特征值为 1(二重)， .对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量1个；对应于二重特征值 1，若 能对角化，则13要使 ，则即说明 解答此题的关键是将 取值条件“ 可对角化” 转化为“二重特征值 1 应满足 ”， 从而求得. 矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征 向量的个数，而与 的秩， 的行列式都无关.14例2 设若能，找出一个相似变换矩阵 将 化为对角阵.试问 能否对角化？解 析：这是前面提到的一个例题. 现在再讲，目 的是为了熟悉找相似变换
6、矩阵的方法.先求 的特征值，所以 的特征值为再求特征向量，15当 时，对应的特征向量满足解之，得基础解系所以对应于 的线性无关的特征向量可取为解之，得基础解系当 时，对应的特征向量满足所以对应于 的线性无关的特征向量可取为 16由以上可知， 有两个线性无关特征向量 ，令则 就是所求相似变换矩阵，且有说明 求相似变换矩阵的步骤： 求特征值； 求特征向量； 若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶 数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性 无关的特征向量构成的矩阵就是所求.所以 可以对角化.17四、小结v对于 阶矩阵 和 ，若有可逆矩阵 ，使则称 与 相似.v 阶矩阵 与 相似，则 和 的特征值
7、相同，反之不然.v 阶矩阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.18一、实对称阵的性质第四节 实对称阵的对角化定理5 实对称阵的特征值为实数.定理6 设 是对称阵 的两个特征值， 是 若 ，则 与 正交.对应的特征向量，证明证明证明定理7 设 为 阶实对称阵，则必有正交阵 ，使其中 是以 的 个特征值为对角元的对角阵.推论 设 为 阶对称阵， 是 的特征方程的 重 根，则矩阵 的秩 ， 从而 对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.19说明 定理5表明，实对称阵的特征向量可取实向量. 这是因为， 当特征值 为实数时，齐次方程的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系. 定理6表明，实
8、对称阵的特征向量可取为两两正交的向量. 这是因为， 对 的每一个不同的特征值 ，对应 于 的特征向量可取为两两正交向量， 到的线性无关的特征向量就是两两正交的. 定理7表明，实对称阵一定可以对角化，而且是正交相似对角化.这样所得20二、实对称阵的对角化理论依据：定理7和其推论实对称阵 正交相似对角化的步骤： 求出 的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为 对于实对称阵 ，一定在正交阵 ，使 对于对称阵 ， 重特征值对应的线性无关 特征向量恰好有 个.21 对应于 重特征值 ，求方程 (由推论) 再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单 位特征向量. 可得 个两两正交的单位特征向量.(由定理6
9、) 用这 个两两正交的单位特征向量构成正交阵，便有 . 注意 中对角元的 排列次序应与 中列向量的排列次序相对应.的基础解系，得 个线性无关的特征向量.故总共22例3 设求一个正交阵 ，使 为对角阵.解 析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本 章的中心问题. 此例是这一问题的示范，目的是熟 悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步 骤的必要性和依据. 求特征值，23求得 的特征值为由24 求两两正交的单位特征向量， 对应于 ，解方程 ， 由得基础解系从而得单位特征向量解方程 ，对应于 ，25由得基础解系将 正交化，取从而得两两正交的单位向量为26 写出正交阵和对角阵，令就是所求正交阵，且有
10、27注意：若令 则若令 则28例4 设 ，求解 析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论 计算方阵的幂及多项式. 求 的特征值，由得 的特征值为 求特征向量，对应 解方程 ，29由得对应 解方程 ，由得 写出相似变换矩阵，将 化为对角阵令则且即30 根据 的相似对角阵，求31 此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述. 将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给 出关系式 、矩阵 和 ，也就是给出条 件 可对角化； 的相似对加阵 ；相似变 换矩阵 . 前者则更具有理论性和实践性: 已知 ， 通过计算 和 ，求 . 因此尽管两者都是求 的 幂，形象地说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论 指导下的实践.说明32三、小结v 对于实对称阵 ，一定在
