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1、电磁场理论的基本概念电磁场理论的基本概念 【1】 平板电容器由半径为平板电容器由半径为 R 的两块圆形极板构成，用长直电流给其充电，的两块圆形极板构成，用长直电流给其充电， 使极板间 电场强度增加率为使极板间 电场强度增加率为/dE dt，L 为两极板间以为两极板间以 r 为半径，圆心在电容器对称轴上， 圆平面与极板平行的圆以为半径，圆心在电容器对称轴上， 圆平面与极板平行的圆以 L 为边界，作曲面为边界，作曲面 S 使圆平面与使圆平面与 S 形成闭合曲面以包围电容器的一个极板，如图形成闭合曲面以包围电容器的一个极板，如图 14-1 所示，求通过曲面所示，求通过曲面 S 的全电流，的全电流，
2、(1) rR 时时 分析：全电流定理指出，磁场强度沿闭合回路分析：全电流定理指出，磁场强度沿闭合回路 L 的线积分等于通过以的线积分等于通过以 L 为 边界的曲面为 边界的曲面 S 的全电流，当回路的全电流，当回路 L 一定时，积分值是一定的，与所取曲面形状 无关因此以一定时，积分值是一定的，与所取曲面形状 无关因此以 r 为半径的圆作为回路，通过圆平面的全电流应等于通过曲面为半径的圆作为回路，通过圆平面的全电流应等于通过曲面 S 的全电流由于本题中通过的全电流由于本题中通过 S 的传导电流是未知的，可以计算通过圆平面的全 电流获得所需结果的传导电流是未知的，可以计算通过圆平面的全 电流获得所
3、需结果 【解】【解】 (1) rR时，穿过以时，穿过以 L 为边界圆平面的传导电流为零，圆面积为为边界圆平面的传导电流为零，圆面积为2rS，电位移通量为，电位移通量为ErSDD02，位移电流为，位移电流为 tErtID dd dd02 D 所以穿过所以穿过 S 面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为 tErIIdd02 D (2) rR时时, 因为忽略边缘效应， 平板电容器的电场局限在极板内， 极板面积为因为忽略边缘效应， 平板电容器的电场局限在极板内， 极板面积为2RS，穿过以，穿过以 L 为边界的圆平面的传导电流为零，电位移通量为为边界的圆平面的传导电流为
4、零，电位移通量为ERSDD02，位移电流为，位移电流为 tERtID Ddd dd02 所以穿过所以穿过 S 面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为 S S I I I I L L 图图 14-1 tERIIDdd02 【2】 平板电容器的圆形极板半径为平板电容器的圆形极板半径为 R=0.04m，放在真空中今将电容器充电，使两极板间的电场变化率为，放在真空中今将电容器充电，使两极板间的电场变化率为 2.51012V/(m. .s)求：求：(1)两极板间位移电流的大小；两极板间位移电流的大小；(2)r=0.02m 处及处及 r=0.06m 处的磁感强度处的磁感强
5、度 分析 通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场 局限在两极板间分析 通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场 局限在两极板间 【解】【解】 (1) 电容器的极板面积为电容器的极板面积为2RS，穿过 以，穿过 以 L 为边界的圆平面的电位移通量为为边界的圆平面的电位移通量为ERSDD02，位移电流为，位移电流为 tERtID Ddd dd02 A111. 0A105 . 21085. 804. 014. 312122(2)在两极板间取半径为(2)在两极板间取半径为 r 的磁场线为安培回路 L，当的磁场线为安培回路 L，当 r=0.02mR 时，因为电场局限
6、在两极板间，求电位移通量时，只应计入极板的面积时，因为电场局限在两极板间，求电位移通量时，只应计入极板的面积2R，ERSDD02，位移电流为，位移电流为 tERtID Ddd dd02 得得 T 1071. 3dd 2272000 0tE rRIrHBD R r I I E L 图图 14-2 【3】 给极板面积给极板面积 S=3cm2的平板电容器充电， 分别就下面两种情形求极板间的电场变 化率的平板电容器充电， 分别就下面两种情形求极板间的电场变 化率 dE/dt：(1) 充电电流充电电流 I=0.01A；(2)充电电流充电电流 I=0.5A 分析分析 极板内的位移电流与极板外的传导电流在大
7、小和方向上相同， 给出传 导电流的大小相当于给出位移电流的大小，再根据位移电流的定义便可求出极板内的位移电流与极板外的传导电流在大小和方向上相同， 给出传 导电流的大小相当于给出位移电流的大小，再根据位移电流的定义便可求出 dE/dt 【解】【解】 极板间位移电流为极板间位移电流为 ItESDSttID Ddd dd dd0(1) 当充电电流当充电电流 I=0.01A 时，得时，得 s)V/(m 1077. 3dd120SI tE (2)当充电电流当充电电流 I=0.5A 时，得时，得 s)V/(m 1088. 1dd140SI tE 【4】 平板电容器的正方形极板边长为平板电容器的正方形极板
8、边长为 0.3m，当放电电流为，当放电电流为 1.0A 时，忽略边缘效应， 求时，忽略边缘效应， 求(1)两极板上电荷面密度随时间的变化率；两极板上电荷面密度随时间的变化率； (2)通过极板中如图通过极板中如图 14-4 所示的正方 形回路所示的正方 形回路 abcd 间的位移电流的大小；间的位移电流的大小；(3)环绕此正方形回路的环绕此正方形回路的 LdlB的大小的大小 分析 若极板上电荷面密度分析 若极板上电荷面密度， 则对于平板电容 器有， 则对于平板电容 器有 D= 【解】 【解】 (1) 极板上电荷极板上电荷Sq， 根据传导电流的定义，有， 根据传导电流的定义，有tStqIdd dd
9、，得，得 s)C/(m 1 .11s)C/(m 3 . 0 0 . 1dd22 22dI SI t（2）正方形回路）正方形回路 abcd 间的位移电流为间的位移电流为 A 0.111A 1 .111 . 0dd dd dd2DtSDSttIabcdaabcdaD实际上为整个传导电流的实际上为整个传导电流的1/9 （3）正方形回路）正方形回路 abcd 的磁感强度环流为的磁感强度环流为 DabcdaI0d lB 1.391010-7 Wb/m a b c d 0.1 m 0.3 m 图图 14-4 【5】 【5】 证明对任意形状电容器, 当电容量证明对任意形状电容器, 当电容量 C 不变化时,
10、位移电流为不变化时, 位移电流为tVCIDdd, 其中其中 C为电容器电容为电容器电容, V 为两极板电势差为两极板电势差 【证】【证】 对任意形状的电容器对任意形状的电容器, t 时刻极板带电量时刻极板带电量 q=CV，当，当 C 不变时不变时 tVCtq dd ddI tVCIIDdd 【6】 极板面积为极板面积为 S 的一平板电容器与一电动势为的一平板电容器与一电动势为 E 的电源相连接的电源相连接, 若电容器两极板间的距离若电容器两极板间的距离 d 随时间变化随时间变化, 且两极板相互离开的速度的大小为且两极板相互离开的速度的大小为 v. 在不考虑电源内 阻及线路内阻的情况下在不考虑电
11、源内 阻及线路内阻的情况下, 忽略边缘效应忽略边缘效应, 求两极板间的位移电流求两极板间的位移电流. 分析分析：两极板以速度：两极板以速度 v 相互离开时相互离开时, 电容器始终与电源相连电容器始终与电源相连, 不考虑电源内阻不考虑电源内阻, 也不考虑线路内阻也不考虑线路内阻, 两极板的电势差正好为电源电动势 于是可以计算出极板间 场强和电位移矢量两极板的电势差正好为电源电动势 于是可以计算出极板间 场强和电位移矢量 【解】【解】 板间电位移矢量大小为板间电位移矢量大小为 D=dEE0 0 200)(dd dd ddtSStDIDEEvS 【7】 如图如图 14-7 所示，匀速直线运动的点电荷
12、所示，匀速直线运动的点电荷+q，以速度，以速度 v 向向 O 点运动，在点运动，在 O 点处 画一半径为点处 画一半径为 R 的圆，圆面与的圆，圆面与 v 垂直垂直(vc)，试计算通过此圆面的位移电流应 用全电流定理计算圆边缘某一点的磁感强度设运动电荷与该点的距离为，试计算通过此圆面的位移电流应 用全电流定理计算圆边缘某一点的磁感强度设运动电荷与该点的距离为 r, 把把 计算结果与运动电荷的磁感强度计算式计算结果与运动电荷的磁感强度计算式30 4rqrBv 作比较作比较. 分析：由运动电荷的磁感强度表示式可以看出，该磁场具有轴对称性，即以电 荷运动方向为轴线，与轴线距离相等并与电荷距离相等处磁
13、感强度大小相等、 方向在垂直于轴线并以轴线为中心的圆的切线方向分析：由运动电荷的磁感强度表示式可以看出，该磁场具有轴对称性，即以电 荷运动方向为轴线，与轴线距离相等并与电荷距离相等处磁感强度大小相等、 方向在垂直于轴线并以轴线为中心的圆的切线方向 【解】 半径为【解】 半径为 R 的圆中心到电荷的距离为的圆中心到电荷的距离为 x， 其边缘到电荷的距离， 其边缘到电荷的距离22xRr，如图，如图 14-7 所示，当 所示，当 vc 时时, 运动点电荷周围电场具有球对称性，以电荷为中 心、运动点电荷周围电场具有球对称性，以电荷为中 心、r 为半径的球的电位移通量为为半径的球的电位移通量为 q，通过
14、给定圆的电位移通量等于以，通过给定圆的电位移通量等于以 r 为半径以该圆为边界的球冠的通量球冠面积为为半径以该圆为边界的球冠的通量球冠面积为)(2xrr，则通过给定圆的电位移通量为 ，则通过给定圆的电位移通量为 21222)(114)(2 xRxqrxqrxrrqD 因因tx dd=-=- v，则通过圆平面的位移电流为，则通过圆平面的位移电流为 2/32222/3222)(2)(dd2dd xRqR xRtxRq tID Dv(1) 分析表明，运动电荷的磁场具有轴对称性，磁场线是垂直于轴线圆心在轴上 的一系列同心圆设圆边缘某点(1) 分析表明，运动电荷的磁场具有轴对称性，磁场线是垂直于轴线圆心
15、在轴上 的一系列同心圆设圆边缘某点 P 的磁感强度为的磁感强度为 B，磁场强度为，磁场强度为 H，以给定圆 为积分回路 L，应用全电流定理和(1)式，得 ，以给定圆 为积分回路 L，应用全电流定理和(1)式，得 23222L)(22dxRqRIIRHDvlH 2/322)(4xRqRHv由于由于2/122)(sinxRR ，22xRr，则 ，则 20 04sin rqHBv 因磁感强度方向在垂直于轴线的圆的切线方向，并利用矢量积因磁感强度方向在垂直于轴线的圆的切线方向，并利用矢量积rv的定义，可 以将上式写成矢量式，为 的定义，可 以将上式写成矢量式，为 30 4rqrBv 与运动电荷磁感强度计算公式相同与运动电荷磁感强度计算公式相同 P r R
