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1、2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案13.63.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较问题导学问题导学 一、比较函数增长的差异 活动与探究 1 分析指数函数y2x与对数函数ylog2x在区间1,)上的增长情况 迁移与应用 下列所给函数,增长最快的是( ) Ay5x Byx5 Cylog5x Dy5x 活动与探究 2 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图,设两个函数的图像相交于点A(x1,y1)和 B(x2,y2),且x1x2.(1)请指出图中曲线 C1,C2分别对应哪一个函数; (2)若x1a,a+1,x2b,b+1,且a,b1,2
2、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,指 出a,b的值,并说明理由 迁移与应用 以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:x12345678y13927812437292 1876 561y2182764125216343512y300.63011.2611.4651.6301.7711.892 其中关于x成指数函数变化的函数是_比较不同函数增长快慢时,一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特 点;另一方面,要善于运用图像,根据图像特点来分析和比较函数的增长速度一般地, (1)随着自变量的增大,图像最“陡”的函数是指数函数(2)图像趋于平缓的函数是对数 函数(3)
3、介于两者之间的是幂函数 二、比较大小问题 活动与探究 3 比较下列各组数的大小:(1)3 42 3,2 33 4;(2)0.32,log20.3,20.3.迁移与应用 1三个数 60.7,0.76,log0.76 的大小顺序是( ) A0.76log0.7660.7 B0.7660.7log0.762018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案2Clog0.7660.70.76 Dlog0.760.7660.7 2试比较a20.3,b0.32,clogx(x20.3)(x1)的大小解决这类题目的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数; 若指数不同而底数相同,则考虑指数函数
4、;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利 用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图像 当堂检测当堂检测1下面对函数f(x)1 2log x与g(x)1 2x在区间(0,)上的增减情况的说法中正确的是( ) Af(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越快 Bf(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越慢 Cf(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越慢 Df(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越快 2当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( ) Ay100x Bylog100x Cyx100 Dy100x 3已知函数f(x)3x
5、,g(x)2x,当xR R 时,有( ) Af(x)g(x) Bg(x)f(x) Cf(x)g(x) Dg(x)f(x) 4函数y12x与y2x2,当x0 时,图像的交点个数是( ) A0 B1 C2 D35当1 2a1 时,若xlog2a,ylog3a,z2a,那么x,y,z之间的大小关系是_提示:用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基 本技能的要领部分写下来并进行识记。答案:答案: 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 大 小 大 预习交流预习交流 提示:存在,因为函数yax(a1),ylogax(a1),yxn(n0)在区 间(0,)上都是增加的,但随着x的增大,yax(a
6、1)的增长速度越来越快,会超过 并远远大于yxn(n0)的增长速度,而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢,因此, 总会存在一个x0,使得当xx0时,恒有 logaxxnax.2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案3课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 思路分析:思路分析:解答本题时,应分析对于相同自变量的增量,比较指数函 数的增量与对数函数的增量的差异 解:解:指数函数y2x,当x由x11 增加到x23 时,x2,y23216; 对数函数ylog2x,当x由x11 增加到x23 时,x2,而 ylog23log211.585 0. 由此可知,在区间
7、1,)内,指数函数y2x随着x的增长,函数值的增长速度逐 渐加快,而对数函数ylog2x的增长速度逐渐变得很缓慢 迁移与应用迁移与应用 D 活动与探究活动与探究 2 思路分析:思路分析:(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线对应的 函数;(2)通过计算比较函数值的大小关系,求出a,b的值 解:解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)x3,C2对应函数f(x) 2x. (2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值当xx1时, 2xx3,即f(x)g(x); 当x1xx2时,f(x)g(x); 当xx2时,f(x)g(x) 由于f(1)2,g(1
8、)1,f(2)224,g(2)238, 所以x11,2,即a1; 又因为f(8)28256,g(8)83512, f(8)g(8),f(9)29512, g(9)93729,f(9)g(9) f(10)2101 024,g(10)1031 000,f(10)g(10),所以x29,10,即b9. 迁移与应用迁移与应用 y1 解析:解析:指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为 6,18,54,162,486,1 458,4 374,是成倍增加的,因而y1呈指数变化 活动与探究活动与探究 3 思路分析:思路分析:先观察各组数值的特点,然后考虑构造适当的函数,利用 函数的性质或图像进
9、行求解解:解:(1)函数y1x为 R R 上的减函数,又 ,23 3422 33.(2 3)3 42 3又函数y22 3x在(0,)上是增加的,且 ,3 42 322 3332 43.23 3432 43.(2)令函数y1x2,y2log2x,y32x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图, 然后作直线x0.3,此直线必与上述三个函数图像相交由图像知 log20.30.3220.3.2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案4迁移与应用迁移与应用 1D 解析:解析:60.71,00.761,log0.760, log0.760.7660.7. 2解:解:1a20.32,b0.321,x1, clogx(x20.3)logxx22.bac. 【当堂检测】 1C 2D 解析:解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数 y100x的增长速度最快 3A 解析:解析:在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=2x的图像,如图所示,由于函数 f(x)=3x的图像在函数g(x)=2x的图像的上方,则f(x)g(x)4C 解析:解析:当x2、4 时,y1y2,当x4 时,y1y2.故交点个数是 2. 5yxz 解析:解析:画出函数ylog2x,ylog3x,y2x的图像,由图像可知,当a1 时,log3alog2a2a,即yxz.1 2