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1、2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案13.63.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较问题导学问题导学 一、比较函数增长的差异 活动与探究 1 分析指数函数y2x与对数函数ylog2x在区间1，)上的增长情况 迁移与应用 下列所给函数，增长最快的是( ) Ay5x Byx5 Cylog5x Dy5x 活动与探究 2 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线 C1，C2分别对应哪一个函数； (2)若x1a，a+1，x2b，b+1，且a，b1,2
2、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，指 出a，b的值，并说明理由 迁移与应用 以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：x12345678y13927812437292 1876 561y2182764125216343512y300.63011.2611.4651.6301.7711.892 其中关于x成指数函数变化的函数是_比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特 点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度一般地， (1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数(2)图像趋于平缓的函数是对数 函数(3)
3、介于两者之间的是幂函数 二、比较大小问题 活动与探究 3 比较下列各组数的大小：(1)3 42 3，2 33 4；(2)0.32，log20.3,20.3.迁移与应用 1三个数 60.7,0.76，log0.76 的大小顺序是( ) A0.76log0.7660.7 B0.7660.7log0.762018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案2Clog0.7660.70.76 Dlog0.760.7660.7 2试比较a20.3，b0.32，clogx(x20.3)(x1)的大小解决这类题目的关键在于构造恰当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数； 若指数不同而底数相同，则考虑指数函数
4、；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利 用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像 当堂检测当堂检测1下面对函数f(x)1 2log x与g(x)1 2x在区间(0，)上的增减情况的说法中正确的是( ) Af(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越快 Bf(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越慢 Cf(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越慢 Df(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快 2当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) Ay100x Bylog100x Cyx100 Dy100x 3已知函数f(x)3x
5、，g(x)2x，当xR R 时，有( ) Af(x)g(x) Bg(x)f(x) Cf(x)g(x) Dg(x)f(x) 4函数y12x与y2x2，当x0 时，图像的交点个数是( ) A0 B1 C2 D35当1 2a1 时，若xlog2a，ylog3a，z2a，那么x，y，z之间的大小关系是_提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基 本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：答案： 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 大 小 大 预习交流预习交流 提示：存在，因为函数yax(a1)，ylogax(a1)，yxn(n0)在区 间(0，)上都是增加的，但随着x的增大，yax(a
6、1)的增长速度越来越快，会超过 并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此， 总会存在一个x0，使得当xx0时，恒有 logaxxnax.2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案3课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 思路分析：思路分析：解答本题时，应分析对于相同自变量的增量，比较指数函 数的增量与对数函数的增量的差异 解：解：指数函数y2x，当x由x11 增加到x23 时，x2，y23216； 对数函数ylog2x，当x由x11 增加到x23 时，x2，而 ylog23log211.585 0. 由此可知，在区间
7、1，)内，指数函数y2x随着x的增长，函数值的增长速度逐 渐加快，而对数函数ylog2x的增长速度逐渐变得很缓慢 迁移与应用迁移与应用 D 活动与探究活动与探究 2 思路分析：思路分析：(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线对应的 函数；(2)通过计算比较函数值的大小关系，求出a，b的值 解：解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C1对应函数g(x)x3，C2对应函数f(x) 2x. (2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值当xx1时， 2xx3，即f(x)g(x)； 当x1xx2时，f(x)g(x)； 当xx2时，f(x)g(x) 由于f(1)2，g(1
8、)1，f(2)224，g(2)238， 所以x11,2，即a1； 又因为f(8)28256，g(8)83512， f(8)g(8)，f(9)29512， g(9)93729，f(9)g(9) f(10)2101 024，g(10)1031 000，f(10)g(10)，所以x29,10，即b9. 迁移与应用迁移与应用 y1 解析：解析：指数函数中的增长量是成倍增加的，函数y1中增长量分别为 6,18,54,162,486，1 458，4 374，是成倍增加的，因而y1呈指数变化 活动与探究活动与探究 3 思路分析：思路分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用 函数的性质或图像进
9、行求解解：解：(1)函数y1x为 R R 上的减函数，又 ，23 3422 33.(2 3)3 42 3又函数y22 3x在(0，)上是增加的，且 ，3 42 322 3332 43.23 3432 43.(2)令函数y1x2，y2log2x，y32x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图， 然后作直线x0.3，此直线必与上述三个函数图像相交由图像知 log20.30.3220.3.2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案4迁移与应用迁移与应用 1D 解析：解析：60.71,00.761，log0.760， log0.760.7660.7. 2解：解：1a20.32，b0.321，x1， clogx(x20.3)logxx22.bac. 【当堂检测】 1C 2D 解析：解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数 y100x的增长速度最快 3A 解析：解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x，g(x)=2x的图像，如图所示，由于函数 f(x)=3x的图像在函数g(x)=2x的图像的上方，则f(x)g(x)4C 解析：解析：当x2、4 时，y1y2，当x4 时，y1y2.故交点个数是 2. 5yxz 解析：解析：画出函数ylog2x，ylog3x，y2x的图像，由图像可知，当a1 时，log3alog2a2a，即yxz.1 2
