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1、 2017-20182017-2018 学年高中数学人教学年高中数学人教 A A 版版选修选修 4-54-5 全册教学案全册教学案目目 录录第一讲第一讲 一一 1.不等式的基本性质不等式的基本性质第一讲第一讲 一一 2.基本不等式基本不等式第一讲第一讲 一一 3.三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式第一讲第一讲 二二 1.绝对值三角不等式绝对值三角不等式第一讲第一讲 二二 2.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法第一讲第一讲 本讲知识归纳与达标验收本讲知识归纳与达标验收第二讲第二讲 一一 比较法比较法第二讲第二讲 二二 综合法与分析法综合法与分析法第二讲第二讲 三三 反证法
2、与放缩法反证法与放缩法第二讲第二讲 本讲知识归纳与达标验收本讲知识归纳与达标验收第三讲第三讲 一一 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式第三讲第三讲 二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式第三讲第三讲 三三 排序不等式排序不等式第三讲第三讲 本讲知识归纳与达标验收本讲知识归纳与达标验收第四讲第四讲 一一 数学归纳法数学归纳法第四讲第四讲 二二 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式第四讲第四讲 本讲知识归纳与达标验收本讲知识归纳与达标验收2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 11不等式的基本性质对应学生用书 P11实数大小的比较(1)数轴上的点与实
3、数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上，右边的数总比左边的数大(2)如果 ab0，则 ab；如果 ab0，则 ab；如果 ab0，则 ab.(3)比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差 ab 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果 ab，那么 ba；如果 ba，那么 ab.即 abba.(2)如果 ab，bc，那么 ac.即 ab，bcac.(3)如果 ab，那么 acbc.(4)如果 ab，c0，那么 acbc；如果
4、ab，cb0，那么 anbn(nN，n2)(6)如果 ab0，那么(nN，n2)nanb3对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数 c(或代数式)结果有三种：c0 时得同向不等式；c0 时得等式；cbd，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而ab0，cd0acbd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且 nN，n2，否则结论不成立而当 n 取正奇数时可放宽条件，abanb
5、n(n2k1，kN)，ab(n2k1，kN)nanb(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“” ，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系” 这要求必须熟记与区别不同性质的条件如 ab，ab0 ，而反之不成立1a1b对应学生用书 P1实数大小的比较例 1 已知 x，y 均为正数，设 m ，n，试比较 m 和 n 的大小1x1y4xy思路点拨 两式作差变形转化为因式 乘积形式与0比较判断正负，得出大小解 mn ，1x1y4xyxyxy4xyxy24xyxyxyxy2xyxyx，y 均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即 mn.(当 x
6、y 时，等号成立)2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 3比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等1已知 a，bR，比较 a4b4与 a3bab3的大小解：因为(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2)(ab)20(ab2)234b2(当且仅当 ab 时，取“”号)所以 a4b4a3bab3.2在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为，B 点对应的实数为 1，试判别 A 点6a29a4在 B 点的左边，还是在 B 点的右边？解：因为
7、10，6a29a4a2329a4所以1.6a29a4当且仅当 a时取“” ，3所以当 a时，A 点在 B 点左边，当 a时，A 点与 B 点重合33不等式的证明2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 4例 2 已知 ab0，c.eacebd思路点拨 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明证明 法一：eacebdebdacacbd，ebacdacbdab0，c0，c0.同理 bd0，(ac)(bd)0.e0.即.ebacdacbdeacebd法二：c d 0 a b 0Error!.eacebd进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不
8、能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 53判断下列命题的真假，并简述理由(1)若 ab，cd，则 acbd；(2)若 ab0，cd0，则 ；acbd(3)若 ab，cbd；(4)若 ab，则 anbn，(nN 且 n2)nanb解：(1)取 a3，b2，c2，d3，即 32，23.此时 acbd6.因此(1)为假命题(2)因同向不等式不能相除，取 a6，b4，c3，d2，此时 2.因此(2)为假命acbd题(3)cd，因此(3)为真命题(4)当 ab0 时，才
9、能成立，取 a2，b3，当 n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题4已知 a，b，x，y 都是正数，且 ，xy，1a1b求证：.xxayyb证明：因为 a，b，x，y 都是正数，且 .xy，所以 ，1a1bxayb所以 .xaxybyxxayyb2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 6利用不等式的性质求范围例 3 (1)已知： |y|0.故 P 在 Q 的右边答案：B2下列命题中不正确的是( )A若，则 ab3a3bB若 ab，cd，则 adbcC若 ab0，cd0，则 adbcD若 ab0，acbd，则 cd解析：当 c0，d0 时，才有 ab0，acbdcd.答
10、案：D3已知 abc，则下列不等式正确的是( )Aacbc Bac2bc2Cb(ab)c(ab) D|ac|bc|解析：abcab0(ab)b(ab)c.答案：C4已知 a，b，c(0，)，若，则( )cababcbcaAcab BbcaCabc Dcba解析：由，可得111，即cababcbcacababcbca，又 a，b，c(0，)，所以 abbcca.由abcababcbcabccaabbc 可得 ac；由 bcca 可得 ba，于是有 cab.2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 9答案：A5已知 0a1，则 a，a2的大小关系是_1a解析：a 0，1aa
11、1a1aa .1a又 aa2a(1a)0，aa2.a2a .1a答案：a2a1a6给出四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0.能得出 成立的有_1a1b解析：由 y，则实数 a，b 应满足的条件为_解析：xy，xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.ab10 或 a20.即 ab1 或 a2.答案：ab1 或 a22017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 108若 a0，b0，求证：ab.b2aa2b证明：ab(ab)b2aa2b(abba)，ab2abab(ab)20 恒成立，且已知 a0，b0，ab0，ab0.0.ab.ab2ababb2aa2b9若
12、 f(x)ax2bx，且 1f(1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围解：f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2bAf(1)Bf(1)，则Error!Error!f(2)3f(1)f(1)2f(1)4,1f(1)2，33f(1)6，5f(1)3f(1)10，5f(2)10.10已知 a0，a1.(1)比较下列各组大小a21 与 aa；a31 与 a2a；a51 与 a3a2.(2)探讨在 m，nN条件下，amn1 与 aman的大小关系，并加以证明2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 11解：(1)a0，a1，a21(aa)a212a(a1)20.a21a
13、a.a31(a2a)a2(a1)(a1)(a1)(a1)20，a31a2a，a51(a3a2)a3(a21)(a21)(a21)(a31)当 a1 时，a31，a21，(a21)(a31)0.当 00.即 a51a3a2.(2)根据(1)可探讨，得 amn1aman.(证明如下)amn1(aman)am(an1)(1an)(am1)(an1)当 a1 时，am1，an1，(am1)(an1)0.2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 12当 00.综上(am1)(an1)0，即 amn1aman.2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 132基本不等式对应学生用书 P41基本不等式的理解重要不等式 a2b22ab 和基本不等式，成立的条件是不同的前者成立的ab2ab条件是 a 与 b 都为实数，并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是 a 与 b 都为正实数，并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a0，b0 仍然能使成立ab2ab两个不等式中等号成立的充要条件都是 ab.2由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2b2；a
