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1、第四届中国不确定系统年会论文集桂林，2 0 0 6 年8 月1 8 - 2 2 日，第1 9 3 - 2 0 1 页多级适应性延误休假M z G ( M G ) 1 可修排队系统余耖妙1 唐应辉21 电子科技大学应用数学学院，四川成都6 1 0 0 5 4 ；2 四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都6 1 0 0 6 6摘要本文分析了一种在运行过程中服务台可能出现故障的批到达多级适应性延误休假可修排 队系统我们假设休假时间，服务时间，修理时间和延误休假时间都为任意分布利用服务员忙期和拉普拉斯变换，直接获得了时刻f 队长瞬时分布的拉普拉斯变换递推表达式和队长稳 态分布的递推表达式，同时也得到
2、了队长分布的概率母函数关麓词队长，瞬态解，稳态解，随机分解1 引言对M 。G 1 休假排队系统及其衍生系统而言，多数工作集中在多重休假( m u l t i p l e v a c a t i o n s ) 和单重休假( s i n g l ev a c a t i o n s ) 两类模型上 6 1 1 1 9 8 6 年V i s c o l a n i 1 首 先提出了多级适应性概念，并将其用于服务过程，1 9 9 2 年又由田乃硕等人将这一概念引入 休假规则中 2 ，得到了一种崭新的休假排队系统即具有多级适应性休假机制的M G 1 排队系统具有多级适应性休假机制的排队系统仍以空竭服务
3、规则作为控制休假开始的 策略，而何时终止休假既取决于服务员当前所要从事的辅助工作的多少，又适当的受到 顾客到达过程的制约这种休假机制体现了在主队列顾客服务和从事辅助工作之间权衡 得失决定整个休假期长度的思想利用K e n d a l l 提出的嵌入M a r k o v 链方法，田乃硕等人 获得了该排队系统的一些稳态指标，但其研究未能涉及到该排队系统的随机瞬态指标， 且也未能给出稳态队长分布的明显表达式本文在前人研究的基础上，将一种新的休假机制即多级适应性延误休假机制引入到M 。，G 1 可修排队系统中，从而推广了单重延误休假M 。G ( M G ) I 和多重延误休假M 。G ( M G )
4、 1 两种可修排队模型 6 8 这里 所谓的延误休假是指，当服务员发现系统中没有顾客时，并不立即开始休假，而是在经 过一段随机准备时间后才开始休假我们把从服务员开始空闲到开始休假这段时间称为 延误休假时间若在延误休假时间内有顾客进入系统，则服务员终止休假准备，立即为 顾客服务，否则服务员开始休假使用文献 6 ，7 中的一种独特的队长随机分解方法，我们给出了多级适应性延误休假的M G ( M G ) 1 可修排队系统的瞬时队长分布的拉普+ 本文系四川省学术带头人培养基金资助( 2 0 0 1 1 6 ) 1 9 4余妙妙唐应辉拉斯变换递推表达式和稳态队长的递推表达式本文考虑的多级适应性延误休假M
5、 。G ( M G ) 1 排队系统的数学模型描述如下： 1 ) 相邻两批顾客的到达间隔时间服从参数为力( A O ) 的负指数分布F ( f ) = 1 一e 一，t 0 ，每批到达的顾客数皿，f = 1 ，2 ，为一随机变量，且独立，同分布P D f = m ) = ，m = 1 ，2 ，m 2 e l ， Eb】_j盟1-Aea(1+f1)，触( 5 )】_ ( 5 ) 【一，p l ， 其中国为方程0 9 = 季( 名一从( 妫) 的根又令6 q 表示从i 个顾客开始的服务员忙期，j 5 f ( f ) 为其分布因为到达过程为一P o i s s o n 过程，类似文献【5 】第8 4
6、 页对服务顺序的安排，易q ) 可表示为： 6 d = 磊+ 匠+ + E且岛，岛相互独立，与服务员忙期有相同的概率分布B ( t ) ，所以曰Q ( f ) = B “( f ) ，i l ，t 0 我们定义系统闲期为：从系统刚变空的时刻起直到有顾客到达止这段时间，记这段时间为f ，则于有参数名( O ) 的负指数分布F ( r ) = l P 一尉，t 0 下面我们讨论队长的瞬态解，为此我们先讨论服务员忙期中的队长分布令Q ，p ) = P b t O ；O ) = 歹 ，1表示在服务员忙期b 中队长为J 的概率，其中在t = 0 时服务员忙期刚开始，则边界条件为Q l ( O ) = 1
7、 ，Q ，( O ) = 0 ，J 1 定理1 令g ；( J ) = 点e - “ Q J ( t ) d t ，则对吼( s ) o ，口；( s ) 有如下递推表达式：余妙妙唐应辉如，= 等豢考q j 一( s ) = 蒜薯磊v P 埘协由】譬出+ 瓦南莩季等。G c 力一鼬+ 乃一圭k - - - I , n k = k 驴气s 概气f 蛳号渤) 证明：类似文献【l O 】定理1 的证明 对f o J 0 ，令p ( f ) = P ( r ) = j l ( o ) = f l ：西( s ) = f e - “ p u ( t ) d t ，f o ，o 定理2 对吼f J 、 0
8、 舶，= 半n + 掣鬻产，舶) = 型等姑1 证明：因为时刻t 系统中没有顾客当且仅当时刻t 处于系统闲期，所以 P o o ( t ) = P O t ，q + 后d + 乞+ e k e 彳 l + 云 + 乞t ；X + + + + 乞；( f ) = o + 吼P 豸+ 占 + 乞f ；X + V + + 巧+ 乞；o ) = o J= 鼢+ 善气f 尹( ) 州z ) 木趴J ) 】+ 妻纠e k 艺，司h j 主。司e m “1 眇( ) ，州7 蹦t - x - y ) 印( ) ，) 州彳沁恸( 1 0 ) 式中第四项为：( 8 )( 9 )、l JOI I 、，O以v f_
9、 吃+娃_ k v+- q+、J4坼+ 一匕 ，M，L破 易+_ 瓦V 乃K+y ，瑚Lf + 于 + P ( 6 d + 亍f ；O ) = O )= P 亍 f 一工 舾( 。( z ) + P x + K + + + 孵f ；o ) = o )+ P X + V + + + 亍；易q + 矛t ；N ( t ) = O )= f F ( f 一砌瞅x ) + 嘭fn y ( ) ，) 木y ( y ) 】。) ，) 庙( x )+ _ P ( ( x i = i 4 + m V = l - 1 ) 管 ( t + - 亍x - f y ；) d F ( f ) ( = o )+ 哆艺P
10、( ( 巧- l + V q ) + F 亍 O 有P o 洳j ) = 丽f ( s ) r L ( 1 一咖等巧( 洲( 1 一痧州彻吲痧咖( A ) _ V ( 什伽) 删+ 【l G o ( 矽) 】A ( 云( s ) ) ) ，( J + 力) 【眨( s ) + 西( s ) 】) 0 8 ) 承垆妊蜘纠+ 嵩M 】鬻吡( 卅) ，( 什力) ( 姒V ( A ) 叫( 什伽叫n 枷( A ) 舞浠+ 【1 一G 日( 痧) ) ，( 占+ 兄) ( s ) + 西( J ) 】)( 1 9 )其嗍沪薯筹) 一蜘n = l ) 】胁鬈端( V 帅”乃一喜熹耐川V 。气P 协等狮，
11、)西( 占) ：壹f P 巾“M 矿( “) 号竽五 n = lm I n l = 1 证明：该定理的证明完全类似于定理2 我们只需要注意到有下面的等式成立：多级适应性延误休假M 。G ( M c , ) i 可修排队系统些排队指标L 脚f e - ( s + 2 ) u 学y 驴蛳M 喜g ；一占，萨1 c s ，+ 丽R ( s ) p o 如，一，c s ，喜气善k 云H c s ，留 “s ) = 鬻【V ( A ) - 心蚋】+ 瓦p 脚o j ( S ) ) V ( A ) _ 吣均】+ 驰)。一尘丛紫艺k = l 气喜口；t + 。( s ) 云_ ( J )( 2 。)喜气喜石
12、一1 ( s ) g ；一。+ ，( s ) = 掣+ 6 f ( s )( 2 1 屠理4 令p ，= m 既，则f - - 0 0。( 1 ) 当p 1 时，P J = O ，j O ； ( 2 ) 当p 1f = 1t - 1 m 【tJ = t J证明根据拉普拉斯变换的终值定理【1 2 1 ，有l i mP 打( f ) = l i ms p o ( s ) ，于是结合引理1 t - 寸or 余妙妙唐应辉和定理1 3 ，使用罗必达法则容易得证定理5 令x ( z ) = 芝：z 7 P ，表示队长平稳分布的概率母函数，Izk1 ，则面。万( z ) ：坠攀掣塑y ( z )( 2 4
13、) g L Z J Z其中，t t ( ，、一【1 一G 0 ( ) ，( 劫V ( 乃) ) ，( 句v ( 2 ) 1 1 1 一A ( z ) 】+ 【A ( z ) y ( 由一) ，( 乃V ( 力】 1 一G 0 ( y ( 勘1 ，( 名) ) 】 一【1 - A ( z ) l 乇y ( 2 ) E W B - q ( y ( 1 ，( 五) ) 】+ 1 一) ，( 勘】+ y ( 却Q ( ) ，( 却v ( 五) ) 1 一v ( 彩 )f = 3 , - 2 A ( z ) 证明根据母函数的定义，结合定理4 直接计算便可得证 下面，作为本文的推论，我们来考察几种上述排队
14、系统的特殊情况 推论1 若P 顾客每批到达量为1 = 1 ，延误休假时间y 有P Y = 0 = l ，服务台在 运行过程中不会出现故障，则IZk1 时，r e ( z ) = 【g ( f ) 一z 】( 1 一z ) 旭 y 】 1 一( ( 1 ，( 五) ) 】+ ( 1 ，( 名) ) 1 一V ( 名) 】( 2 5 )此式即为具有多级适应性休假机制的M G 1 排队系统队长分布的概率母函数口1 推论2 若P 顾客每批到达量为1 ) = l ，延误休假时间y 有P Y = 0 = 1 ，服务台在运行过程中不会出现故障，且服务员在系统空出后只进行一次休假，即G 日( z ) = z
15、，则当IZk1 时，万( z ) =( 1 - p ) ( 1 - z ) g ( r ) 1 + v ( 见) ( 1 一z ) - v ( 2 - 2 z ) 【g ( r ) 一Z 】( 1 一z ) ( 兄E y 】+ v ( 名) )( 2 6 )此式即为空竭服务单重休假的M G 1 排队系统队长分布的概率母函数3 1 推论3 若P 顾客每批到达量为1 = 1 ，延误休假时间y 有P Y = 0 = 1 ，服务台在运行过程中不会出现故障，且服务员在系统空出后进行多次休假，直到有顾客到达系统后才转入工作状态，即G n ( z ) = 0 ，则IZ k l 时万( z ) =( 1 - p ) ( 1 - z ) g ( r ) l - v ( , ；, - ；t z ) 【g ( 力一Z 】( 1 一z ) 3 , E V 此式即为空竭服务多重休假的MI G l l 排队系统队长分布的概率母函数3 1 推论4 若G 日( z ) = z ，其它条件不改变，则lz
