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1、勾股定理逆定理及综合应用教学目标：掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用. 教学内容解析：1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形2. 满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用的勾股数有 3、4、5；6、 8、10； 5、12、 13 等. 3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较. 4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.
2、例题解析：【例 1】如图，已知四边形ABCD中，B=90 ，AB=3 ，BC=4 ，CD=12， AD=13 ，求四边形ABCD 的面积 . 分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定ACD是直角三角形. 解：连接AC，在 RtABC中，AC2=AB2BC2=32 42=25， AC=5. 在ACD 中， AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169， AC2CD2=AD2， ACD=90 故 S四边形ABCD=SABCSACD=ABBCACCD= 3 4 5 12=630=36. 答：四边形ABCD 的面积为： 3
3、6. 【例 2】如下图，南北向MN 为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午 9 时 50 分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以 13 海里 /时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知 A、C 两艇的距离是13 海里， A、B 两艇的距离是5 海里；反走私艇测得离B 艇的距离是12 海里 .若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“ 跨度 ” ，可将原问题分解成下述“ 子问题 ” ： （1）ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎
4、刃而解. 解：设 MN 交 AC 于 E，则BEC=900. 又 AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，ABC 是直角三角形，ABC=900. 又MN CE，走私艇C进入我领海的最近距离是线段CE 的长，则 CE2+BE2=144， （13-CE）2+BE2=25，得 26CE=288，CE=， 13=0.85 （小时）， 0.85 60=51（分） . 9 时 50 分+51 分=10 时 41 分. 答：走私艇最早在10 时 41 分进入我国领海. 【例 3】如图， AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处
5、上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到 C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由 B跑到 C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高 AB. 解：设 AD=x 米，则 AB 为（ 10+x ）米，AC 为（ 15-x）米， BC 为 5 米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得 x=2，AB=10+x=12 （米）答：树高AB 为 12 米。【例 4】如图所示，有一块塑料模板ABCD ，长为 10 ，宽为 4 ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与 A、D 重合 )并在 AD 上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C？若
6、能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF 与 DC 的延长线交于点Q，与 BC 交于点 E，能否使CE=2 ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由. 解： 设 AP=x，则根据题意可得化简可得解得 x=2 或 8 答：存在， AP=2 或 8. 过点 E 作 BC 边的垂线可转化为，解得 AP=4. 【例 5】如图， E、F 分别是正方形ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且AB=4，CE=BC， F 为 CD 的中点，连接AF、AE，问 AEF 是什么三角形？请说明理由.
7、解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF 是直角三角形. 【例 6】如图，已知等腰ABC的底边 BC=20cm ，D 是腰 AB 上一点，且CD=16cm ，BD=12cm ，求 ABC的周长 . 解：由 BD2+DC2=122+162=202=BC2，得 CDAB ，又 AC=AB=BD+AD=12+AD，在 RtADC 中， AC2=AD2+DC2，即 (12+AD)2=AD2+162，解得 AD=，故ABC的周长为： 2AB+BC=cm 【例 7】如图，在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC ，P 是ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求 BPC的度数解：如下图，将APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合，即 APCBEC, PCE 为等腰直角三角形，CPE=45 ， PE2=PC2+CE2=8. 又PB2=1，BE2=9，PE2+ PB2= BE2, 则BPE=90 ，BPC=135 .
