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1、1/16 方程求根方法 函数求极值方法 线性规划问题及求解 思考题与练习题方程求根与最优化实验2/16例6.1求解 3 次方程 x3 + 1 = 0 。 求多项式根(零点)方法: R= roots(P)P是多项式 P(x) = a1xn + a2 xn-1 + + an x + an+1系数a1,a2,an+1,R为多项式全部零点。 求数值解 P=1,0,0,1; R=roots(P)R =-1.0000 0.5000 + 0.8660i0.5000 - 0.8660i求符号解 sym x; solve(x3+1=0)ans = -1 1/2-1/2*i*3(1/2) 1/2+1/2*i*3(
2、1/2)3/16多项式求根方法 p=1 -30 0 2552; roots(p)ans = 26.314611.8615-8.1761rx例6.3 球体的吃水深度. 计算半径 r =10 cm的球体,密度 =0.638.浸入水深度 x = ?解：重量体积 x3 30x2 +2552 =0求函数零点方法 fun=inline(x.3-30*x.2+2552); x=fzero(fun,10)x = 11.86154/16例6.6 还贷问题。从银行贷款100万元建生产流水线，一 年后建成投产。投产后流水线每年创造利润30万元，银 行的年利率 p=10%，计算多少年后公司可以盈利？ function
3、 pay=debt(p,S) if nargin=0,p=0.1;S=100;end pay=S;k=1; S=S*(1+p); pay=pay,S; while S0k=k+1;S=S*(1+p);S=S-30;pay=pay,S; end调用 debtans =100.0000 110.0000 91.0000 70.1000 47.1100 21.8210 -5.9969第六年盈利 5.9969 万5/16求一元函数最小值方法 Xmin=fminbnd(fun，x1，x2)fun是目标函数,x1，x2是最小值点搜索区间,Xmin 是目标函数的最小值点。例6.7求一元函数f(x) = 0.
4、5 x exp( x2)在区间0，2 内的最小值，并绘出函数图形标出最小值点。 fun=inline(0.5-x.*exp(-x.2); fplot(fun,0,2),hold on x0,y0=fminbnd(fun,0,2) plot(x0,y0,o) x0 = 0.7071y0 = 0.0711 6/16温室例6.9 花园靠楼房处有一温室,温室伸入花园 2 米,高3 米.温室上方是楼房窗台,要将梯子从花园地上放靠在 楼房墙上不损坏温室，用 7 米长的梯子是否可行？ 解:设梯子长度为L, 梯子与地面的夹角为 数学模型:L=inline(2./cos(alpha)+3./sin(alpha)
5、 x,Lmin=fminbnd(L,0.8,0.9)x = 0.8528Lmin = 7.0235 梯子长度基本可行。7/16最优化方法从可行方案中寻求最优方案 在一些限制条件下,针对系统的某一指标寻找最优方 案。可表示为求某一函数在约束条件下的极大值(或 极小值)问题。线性规划的数学模型决策变量: X = x1, x2, , xn T目标函数系数: C=c1, c2, , cnT不等式约束矩阵和向量: A, b8/16例6.13 建筑公司承建办公楼和住宅楼。建办公楼将获 利润500元/平方米，建住宅楼获利润600元/平方米。 总建筑面积不少于5000m2，办公楼的面积不能大于 5000 m2
6、，住宅楼不能大于3000m2。假定公司当年建办公楼x1平方米，建住宅楼x2平方米 。以所得利润最大为目标，得目标函数z = 500x1 + 600x2根据招标单位的要求,约束条件x1+x2 5000 x1 5000 x2 3000x1 0, x2 09/16求解线性规划命令使用格式(1) x=linprog(C, A, b)x,fval = linprog(C, A, b)(2) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq)(3) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)MATLAB中线性规划问题标准形式C目标函
7、数系数向量 A约束条件系数矩阵 b约束条件常数向量10/16解线性规划问题标准形式min -( 500x1+ 600x2) s. t. -x1-x2-5000x1 5000x23000x10, x20C = 50 60 C=500,600; A=-1,-1;1,0;0,1; b=-5000;5000;3000; x=linprog(-C,A,b) z=C*xx = 50003000z= 4300000程序:结果:11/16一组决策变量(x1, x2, , xn)表示某套方案 ; 一组线性不等式或线性等式为约束条件; 以决策变量的线性函数作为目标函数. 明确问题的目标假设一组决策变量考虑目标函数
8、考虑约束条件建立线性规划问题数学模型:12/16例6.15某工厂制造A、B两种产品，A每吨用煤9吨，电4 千瓦，3个工作日；制造B每吨用煤5吨,电5千瓦，10个 工作日。制造A和B每吨分别获利7000元和12000元，该 厂可利用资源有煤360吨，电力200千瓦，工作日300个 。问A、B各生产多少吨获利最大。 AB上限煤(吨)95360电(千瓦)45200工作日(天)310300利润(千元)712数据列表分析13/16数学模型:设生产A产品数量x1，B产品数量x2。约束条件 9x1+5x2360 4x1+5x2200 3x1+10x2300 x10，x20记 C = 7, 12 c=7 12
9、; A=9 5;4 5;3 10; b=360;200;300; x=linprog (-c,A,b) z=c*xx = 20 24 z = 428.00计划A产品生产20吨，B产品 生产24吨.利润:428千元 14/16c=-7, -12; A=9 5; 4 5; 3 10; b=360;200;300; Aeq=;beq=; e0=0,0;e1=inf,inf; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)Optimization terminated successfully. x =20.000024.0000 fval= -428完整的线性规划高级程序:结
10、果:15/16思考题与练习题1. 对“梯子问题”中的数学模型2. 用MATLAB命令fminbnd()求一元函数极大值问题 的过程有哪些操作步？3. 线性规划问题中的约束条件分为几类？4. MATLAB求线性规划命令linpro()需要哪些输入参 数,其中输入参数的前后次序是如何规定的用均值不等式做分析,其结论是否与实验结论一致？16/165 某厂生产两种产品,产一吨甲产品用A资源 3吨、 B资 源 4m3;产一吨乙产品用A资源 2吨, B资源 6m3, C资源7个单位.一吨甲产品和乙产品分别价值7万元和5万元, 三种资源分别限制为90吨、200m3和210个单位.建立描 述生产两种产品使总价值最高的线性规划数学模型？
