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1、现代数值计算方法习题答案李继云1 现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以 有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求. 因此4910-2 ：E = 0.005 ；rE = 0.0102 ； 2位有效数字 . 0.0490 ：E = 0.00005 ；rE = 0.00102 ； 3位有效数字 . 490.00 ：E= 0.005 ；rE= 0.0000102 ；5 位有效数字 . 2、解： 722= 3.1428 ，= 3.1415 ，取它们的相同部分3.14，故有 3 位有效数字 . E = 3.1428 - 3.1
2、415 = 0.0013 ；rE = 14.3E= 14.30013.0= 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0 数字1= 1, 因此有|)(*xEr|)1(10121n= 5 ，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11 *11 *xxx nxEx nxEnnn)(11)()(1)()(*11 * *xEnxxxnxxxxnxxExErnnnn n r5、解： (1) 因为204.4721 ，又)(*xE|*xx| = |47. 420| = 0.0021 = 3 . 所以，*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x, 则其面积为2xy，由题设知 x的近似值
3、为*x= 10 cm . 记*y 为y的近似值，则现代数值计算方法习题答案李继云2 )(20)(20)(2)(*xExxxxxyE 0, 2223= 2 0,301022123= 4 0, 所以系数矩阵是对称正定的 . 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步分解： A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：311l332 21l36 22l33 31l36 32l233l因此，L 23633036332003.第二步求解方程组 LY = b . 解得 Y = （335， 36，2 ）T.第三步求解方程组 LTX = Y .解得 X =（0，2，1）T.（2）解：首先检验系数
4、矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式现代数值计算方法习题答案李继云5 是否大于零来判断 .11a 3 0 , 2223= 2 0 , 1203022323= 6 0, 所以系数矩阵是对称正定的 . 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步分解： A = L LT.由公式计算出矩阵的各元素：311l 332 21l36 22l331l632l333l因此，L 363036 332003. 第二步求解方程组 LY = b .解得 Y= （ 335， 66，33）T .第三步求解方程组 LTX = Y .解得 X= （1，21，31）T .4、解： 对1i,2111ad；对
5、2i , 121t , 21 21l , 25 2d；对3i , 131t , 27 32t ,21 31l , 57 32l ,527 3d.所以数组 A 的形式为：527 57 21025 21002A求解方程组 LY = b . 解得 Y= （4，7，569）T .求解方程组 DLTX = Y .解得 X= （910， 97， 923）T .现代数值计算方法习题答案李继云6 5、解： （1）设 A = LU = 1010000000000010010015432llll5432106000000000600006006uuuuu计算各元素得：51u,51 2l,195 2u,195 3l
6、,1965 3u,6519 4l,65211 4u,21165 5l,211665 5u.求解方程组 LY = d. 解得 Y = （1， 51，191， 651，211212）T .求解方程组 UX = Y.解得 X= （6651509， 6651145， 665703， 665395，665212）T .（2）设 A = LU = 100100132ll321001001uuu计算各元素得：51u，51 2l，524 2u，245 3l，24115 3u.求解方程组 LY = d . 解得 Y = （17， 553， 24115）T.求解方程组 UX = Y .解得 X = （3，2，1）
7、T . 6、证： （1） （2）相同 . 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应 的高斯赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)( 3)( 2)1( 1kkkxxx14141)( 3)( 1)1( 2kkkxxx329292)( 2)( 1)1( 3kkkxxx高斯赛德尔迭代公式：7107271)( 3)( 2)1( 1kkkxxx14141)( 3)1( 1)1( 2kkkxxx329292)1( 2)1( 1)1( 3kkkxxx（2）雅可比迭代公式：现代数值计算方法习题答案李继云7 545152)( 3)( 2)1( 1kkkxxx52535
8、1)( 3)( 1)1( 2kkkxxx5115152)( 2)( 1)1( 3kkkxxx高斯赛德尔迭代公式：545152)( 3)( 2)1( 1kkkxxx525351)( 3)1( 1)1( 2kkkxxx5115152)1( 2)1( 1)1( 3kkkxxx7、(1) 证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相 应的高斯赛德尔迭代法都收敛。(2) 雅可比迭代法： 写出雅可比迭代法公式：5125152)( 3)( 2)1( 1kkkxxx52141)( 3)( 1)1( 2kkkxxx10310351)( 2)( 1)1( 3kkkxxx取)0(x= （3，1
9、，1）T，迭代到 18次达到精度要求 , )18(x= （3.999，2.999，1.999）T . 高斯赛德尔迭代法： 写出高斯赛德尔迭代法公式：5125152)( 3)( 2)1( 1kkkxxx52141)( 3)1( 1)1( 2kkkxxx10310351)1( 2)1( 1)1( 3kkkxxx取)0(x= （3，1，1）T，迭代到 8 次达到精度要求 , )8(x= （4.000 ，2.999 ，2.000）T.8、SOR 方法考试不考。 9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：现代数值计算方法习题答案李继云8 032 31001100)(1ULDBJ, 32 310110JBI解得1)
10、(JB, 所以雅可比迭代法不收敛 . 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：100100100)(1ULDM , 1001010MI求得021，13，则1)(M , 所以高斯 - 赛德尔迭代法不收敛 . 10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：0212110121210)(1ULDBJ , 2121112121JBI求得01，i25 2，i25 3，则1)(JB , 所以雅可比迭代法不收敛 . 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：434102121021210)(1ULDM , 43410212102121MI求得21 21，03，则1)(M , 所以高斯 - 赛德尔迭代法收敛 . 11、证明：当 - 0.5 0 ,
11、 111aaaaaa= (1 - a)2(1 + 2a) 0 , 所以 A 正定.现代数值计算方法习题答案李继云9 雅可比迭代矩阵BJ000aaaaaa，所以，|BJI| = aaaaaa= )2()(232233aaaa所以，|2|)(aBJ ,故当-0.5 = 4 , 即应至少分 4次, 取35.00x开始计算 , 于是有 : 当 k = 1 时, x1 = 0.35 , 0)(1xf , 隔根区间是35.0,3 .0, 当 k = 2 时, x2 = 0.325 , 0)(2xf , 隔根区间是35.0,325.0, 当 k = 3 时,x3 = 0.3375 , 0)(3xf , 隔根
12、区间是35.0 ,3375.0, 当 k = 4 时, x4 = 0.34375 , 0)(4xf , 隔根区间是34375.0,3375.0. 所以*x(0.3375 + 0.34375)/2 0.341. 2、解：4)(3xxxf在区间 1,2 上013)(2xxf，故)(xf在区间 1,2 上严格单调增加，又0)2(f，0)1(f， 所以方程在区间 1,2 上有唯一实根 . 令1212k= 13.3 ,即应至少分 14次. 3、解：作图 , 判断根的数目、找隔根的区间. (1)有唯一实根 , 隔根区间 0,4/, 收敛迭代公式 : 4sincos 1kk kxxx. (2)有唯一实根 ,
13、 隔根区间 1,2,收敛迭代公式 :)4(log21kkxx. 4、解：取5. 10x的邻域 1.3,1.6来考察 . (1) 当 x1.3,1.6时,321)(xx1.3,1.6 ,|)(x | 1, 所以，11kkxx在1.3,1.6上发散 . (4) 当 x1.3,1.6时,1)(3xx1.3,1.6 ,所以，13 1kkxx在1.3,1.6上发散 . 取5. 10x开始计算 , 于是有：1x = 1.481448 , 2x = 1.472705 , 3x = 1.468817 , 4x = 1.467047 , 5x= 1.466243 , 6x = 1.465876 . 由于|56x
14、x| 31021, 故可取*x6x= 1.466. 5、解：方程的等价形式为2 .05xx=)(x, 迭代公式为5 12. 0kkxx. 作函数5xy和2.0xy的图像 , 可知其正根区间为 0.5,1.5. 当 x0.5,1.5时,52. 0)(xx0.5,1.5 ,|)(x | = 0.3 = L 1,所以，32 11kkxx在0.5,1.5上收敛 . 取5. 00x开始计算 , 于是有：1x= 0.93114992, 2x = 1.0249532 , 3x = 1.04141516 , 4x = 1.04419321, 5x = 1.0446673 , 6x= 1.04474582, 7
15、x = 1.04475903, 8x = 1.0447613 , 9x = 1.04476123. 由于|89xx| 31021, 故可取*x9x= 1.04476. 6、解：当 x0,0.5时,10/)2()(xex0,0.5 ,|)(x | = 0.825 = L 1, 所以10/ )2(1kx kex在区间 0,0.5上收敛 . 取5. 00x开始计算 , 于是有：现代数值计算方法习题答案李继云12 1x= 0.10000000, 2x= 0.08948290 , 3x= 0.09063913 , 4x = 0.09051262, 5x = 0.09052647 , 6x= 0.09052495. 由于|56xx| 41021, 故可取*x6x= 0.0905. 7、解：由于)(x 在根5 .0*x附近变化不大 , 5.0|)(xxex= - 0.607 = q. 迭代- 加速公式为 607.1/6.0607.1/111kkkx kxxxexk取5. 00x开始计算 , 于是有：1x = 0.5662917, 2x= 0.5671223, 3x = 0.56714277. 由于|23xx| 41021, 故可取*x3x= 0.5671. 8、解：埃特金加速公式为：kkkkkk kkkkkxxxxxxxxxxx1212 2 13 1
