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1、例 5? 已知 x = af ( x) + bf (1 x) ? ( x ? 0、 | a|? | b| 、 a? 0、 b ? 0) , 求 f ( x) .分析? 题中的明显条件即对任意非零实数 x都有x = af ( x ) + bf (1 x), 因此, 对于非零实数 y, 也应有 y= af ( y)+ bf (1 y), 令 y=1 x, 则1 x= af (1 x)+ bf ( x ). 弄清了已知条件的这个等价说法, 就可以作等价转换, 题目便迎刃而解了. 事实上, 通过解方程组x = af ( x )+ bf (1 x) ,1 x= af (1 x)+ bf ( x) ,可得
2、 f ( x )=ax2- b a2- b2.6? 细究? 多余?条件解题时, 抓住问题中的? 多余?条件, 进行追踪、试探, 也往往可以找到解题方向.例 6? 已知 x + y + z ? 0, 且x y+ z= a,y z + x=b,z x + y= c, 求证:a 1+ a+b 1+ b+c 1+ c= 1. 分析? 探求这类题的解题途径, 往往只注意抓? 大?条件:x y+ z= a、y z + x= b、z x + y= c, 而忽视? 小?条件: x+ y+ z ? 0. 为什么要规定 x+ y+ z ? 0呢?猜想: 可能分母中要出现 x + y+ z . 怎样才能使分母中出现
3、 x+ y+ z 呢? 联想到合比定理, 立得x x + y+ z=a 1+ a,y x + y+ z=b 1+ b,z x+ y+ z=c 1+ c, 故?a 1+ a+b 1+ b+c 1+ c= 1.活 用 化 归 方 法 提 高 解 题 能 力朱玉华 ?( 甘肃省兰州市外国语学校 ? 730030)? ? 化归方法是一种重要的思维方法, 其特点是根据事物内部固有的本质联系和运动变化规律, 将新问题转化为已有的解决方法和程序, 运用已知的理论和方法, 使新问题得到解决. 化归方法具有广泛地适用性, 在数学学习和研究中起着十分重要的作用,教学中若能适时渗透和总结化归思想, 必将提高学生的认
4、识水平和解决问题的能力.下面结合教学实践, 分别用实例说明九种常用的化归方法.1? 化归熟悉法根据熟悉化原则, 在熟练掌握基本知识和技能的基础上, 将题中不熟悉的内容和条件, 转化为熟悉的内容和条件, 用已有的知识、 经验和方法寻找解决问题的思路.例 1? 解方程组2x? 3y= 648,3x? 2y= 432. ? ? 分析? 不同底数幂的指数方程不熟悉, 需要化归为熟悉的同底数幂指数方程. 原方程组可化为2x? 3y= 23? 34,3x? 2y= 24? 33.? ? 两式相乘、 相除, 得同解方程组2x+ y? 3x + y= 27? 372x- y? 3y- x=3 2? ? ?6x
5、 + y= 67(3 2)y- x=3 2? ?x+ y= 7y- x = 11? ?x = 3,y= 4. 2? 化归简单法抓住问题的本质及内在联系, 通过对条件或结论进行转化、 变形, 将复杂的问题化归为简单的问题, 从而使问题易于解决. 例 2? 已知二次方程 ax2+ 2( 2a- 1) x + 4a- 7= 0 中 a 为正整数, 问 a 为何值时此方程至少有一个整数根.分析? 此题按常规解法需分析根是整数的情况, 难以下手. 若先将方程变形为 a=2x + 7 ( x + 2)2, 由 a 为正整数, 从而将问题化归为在整数范围内解不等式2x+ 7 ( x + 2)2?1. 于是可
6、解得 x = - 3, - 1, 0, 1. 此时对应的 a 的值为 1, 5,7 4, 1. 故 a= 1 或 a= 5.3? 化归和谐法将问题的表现形式化归为更加符合数学内部固 有的和谐统一的特点, 使问题的本质逐步显现出来,从而使问题得到解决.151998 年第 6 期? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数 学 教 学 研 究? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例 3 ?在 ? ABC 中, 证 明ctgA 4- cscA 2ctgB 2+ ctgC 2=b+ c- a 2a.分析? 在等式左边是关于三角形角的关系, 右边是关于三角形边的关系
7、, 不和谐, 需向和谐统一化归.? ? 左边=(2cos2A 4- 1) sinB 2sinC 2sinA 2sinB 2+C 2这个? ? =cosA 2sinB 2sinC 2sinA 2cosA 2? ? =4sinB 2sinC 2cosA 22? 2sinA 2cosA 2? ? =sinB+ sinC- sinA 2sinA=b+ c- a 2a= 右边.4? 化归典型法将一般性问题化归为个别典型问题, 典型问题解决了, 一般问题也得到解决.例 4? 求( 1+ x + x2)n展开式中x 的偶数次幂的各项系数的和S.分析? 利用三项展开式计算十分复杂. 可将其化归为典型问题求解.
8、 设(1+ x + x2)n= A0+ A1x+ A2x2+ ?+ A2nx2n, 由展开式各项系数可发现运用特殊值 x= ? 1 代入, 可分别得? ? A0+ A1+ A2+ A3+ A4+ ?+ A2n= 3n,? ? A0- A1+ A2- A3+ A4- ?+ A2n= 1.以上两式相加, 便消去了所有奇数项的系数, 所以有? ? 2S= 3n- 1, 即 S=1 2(3n- 1).5? 化归模型法根据问题的结构特征及内在联系, 构造与其相关的数学模型, 利用模型的性质, 使问题获解.例 5? 求证| a+ b| 1+ | a+ b|?| a| + | b| 1+ | a| + |
9、b|.? ? 分析 ? 观察不等式的两端具有相同的结构特征, 且| a+ b| ? | a| + | b| , 所以建立函数模型: f( x) =x 1+ x= 1-1 1+ x. 根据 f ( x ) 在( 0, + ? )上是单调递增函数, 所以 f (| a+ b| ) ? f ( | a| + | b| ) , 即| a+ b | 1+ | a+ b |?| a |+ | b | 1+ | a |+ | b |.6? 分割化归法把一个复杂的问题, 分割成几个熟悉或规范的问题, 通过局部问题的解决来带动整个问题的解决.? ? 例 6? 设 a、 b、 c 都是非负实数, 求证:a2+ b
10、2+b2+ c2+a2+ c2? 2( a+ b+ c) .? ? 分析? 要证明该不等式成立, 只须证明? ?a2+ b2?2 2( a+ b),b2+ c2?2 2( b+ c),a2+ c2?2 2( a+ c) 即可. 由不等式 a2+b2?( a+ b)2 2, 知 a、 b、 c?0时, 上述三个不等式均成立,问题迅速获证. 7? 分割逼近化归法许多等式或不等式的证明需要对等式或不等式的两边同时分割逼近后, 使问题化归为简单的数量关系而得证.例 7? 设 a, b 是任意实数, 证明:6a36a+ 1+ 1?5 6- b+b2 3.分析? 不等式两边无直接联系, 需分割逼近化归为直
11、接或接近的数量对比关系.? ? 左式=6a 36? 62a+ 1=136? 6a+1 6a?1 12,? ? 右式=b2 3- b+5 6=1 3b-3 222 +1 12?1 12. 所以原不等式成立.8? 层次分解化归法将问题中复杂隐蔽的内在本质特征多层次展 开, 层层分解, 并逐一化归为规范问题, 使复杂问题得到解决.例 8? 椭圆x2 a2+y2 b2= 1( a b 0) 的左焦点为F, 过 F 的直线l 交椭圆于 A 、 B 两点, P 为线段AB的中点, 当? PFO 的面积最大时( O 为坐标原点),求直线 l 的方程.分析? 问题涉及到椭圆、 直线、 三角形面积和极值等内容,
12、 需分解层次, 逐一化归.设 l 的斜率为k, 则 l: y= k( x+ c) .? ? 将 x=y k- c 代入椭圆方程, 整理得? ?b2+ a2k2 k2y2-2b2c ky- b4= 0.? yP=y1+ y2 2=b2ck b2+ a2k2,16? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数 学 教 学 研 究? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1998 年第 6 期? S?PFO=1 2?| OF| ?| yP| =b2c2| k| 2( b2+ a2k2)=1 2?b2c2 b2 | k|+ a2| k|?b2c2 4a2b2=bc2 4a,当且仅当b
13、2 | k|= a2| k| , 即 k= ?b a时, 等号成立.故 l 为y = ?b a( x +a2- b2) .9? 数形结合化归法数学中的数和形是反映数量特征及规律的两种基本方式, 是相辅相承互为补充的. 数形结合可以使复杂难理解的问题化归为简明直观的问题, 使问题易于解决.例 9? 设 f ( x) = ( x - 2k)2, x ? Ik, Ik表示区间 ( 2k- 1, 2k+ 1?, 对于自然数 k, 求集合 Mk= a| 使方程 f ( x ) = ax 在 Ik上有两个不相等的实数根 .分析? 将原命题转化为易解的等价命题: 求使直线y= ax 与曲线y = ( x -
14、 2k)2在 x ? (2k - 1, 2k + 1?上有两个不同交点时 a 的取值范围. 这 样 就 可 以 借 助 直 线 与 曲 线 的 图 形 及数量特征来解决. 如图, 在( 2k- 1, 2k+ 1?上画出抛物线 y = ( x - 2k)2的一段 ABC, 直线 OC 的斜率为1 2k+ 1, 直线 y= ax 与这段抛物线有两个交点, 则应有? ? 0 a?1 2k+ 1, ? Mk= a| 0 a?1 2k+ 1 .从 ? 零 ? 出 ? 发 ? 的 ? 数 ? 学 ? 思 ? 想王国成 ?(浙江省新昌中学 ? 312500)? ? 数学中有许多概念、 公式或问题是从零( 或
15、原点) 出发而延拓发展的, 那么, 它们是怎样发展的?其中的思维有什么规律呢? 本文根据笔者的教学实践, 在指导学生理解和运用从零出发的数学思想方面谈一点肤浅的认识.1? 平移思想例 1? 求作方程| x+ 1| + | y+ 1| = 1 的图像.分析? 这是一个普通学生难以独立完成的习题. 教师在指导学生时, 可作如下启发: 方程| x | +| y| = 1 的图像是怎样的? 有了这个启发, 大部分同学就可以解决这个问题了. 可知它的图像是平移正方形( | x| + | y| = 1), 使其中心由原点移到了点 A( - 1, - 1) .在此例中, 教师对学生思维的启迪, 运用了从零出
16、发的数学思想, 即平移思想.例 2? 求作函数 y= lg| x - 1| 的图像.分析? 先作 y = lg| x | 的图, 运用平移思想, 再作 y= lg| x - 1| 的图, 学生很容易接受( 图略).2? 类比联想例 3? 如果函数 f ( x ) = x2+ bx + c 对任意实数t 都有f ( 2+ t) = f ( 2- t), 那么( ? ? )( A )f (2) f ( 1) f ( 4) ,( B) f (1) f (2) f (4),( C) f ( 2) f (4) f (1),( D) f (4) f ( 2) f ( 1) .? ? 分析? 由 f ( x ) = x2+ bx + c, 及 f ( 2+ t) =f (2- t) , 对 t? R 恒成立, 易得 b= - 4, 可知二次函数 y= f ( x ) 的对称轴为直线 x = 2. 数形结合, 可得答案为( A ).然而, 教师的工作刚开始, 作为训练学生的思维, 我们碰上了一个极好时机. 教师应启发学生对比两个式子: f (
