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1、实验报告四学院名称：理学院专业年级：姓名：学号：课程：数学模型与数学建模报告日期： 2015 年 12 月 1 日一、实验题目例 2.1.1 赛跑成绩与赛跑距离下面的表给出了1977 年以前 6 个不同距离的中短赛跑成绩的世界纪录：距离mx /100 200 400 800 1000 1500 时间sy /9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1 试用这些数据建模分析赛跑成绩与赛跑距离的关系。例 2.1.4 投资预测研究某地区实际投资额与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP ）的关系，以便根据对未来国民生产生产总值及物价指数的估计，预测未来的实际投资额。附：以往
2、 20 年数据如表2.1.4 所示：表： 2.1.4 某地区 20 年的投资额、与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP ）投资额90.9 97.4 113.5 125.7 122.8 133.3 149.3 国民生产总值596.7 637.7 691.1 756 799 873.4 944 物价指数0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 0.8254 0.8679 投资额114.2 166.4 195 229.8 228.7 206.1 257.9 国民生产总值992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718 物价指数
3、0.9145 0.96011 1.0575 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 投资额324.1 386.6 423 401.9 474.9 424.5 国民生产总值1918.3 2163.9 2417.8 2631.7 2954.7 3073 物价指数1.4005 1.5042 1.6342 1.7842 1.9514 2.0688 二、实验目的针对问题解决的目标，对实际情况先有一个大概的估计。随着信息量的增加，特别是数据的获取， 就可以采用拟合模型与回归分析，或者采用插值模型与数值分析，使得到的结果更加丰富。 特别是， 如果对表面现象产生的内在机理有所了解，就能够建立机
4、理模型，则得到的结果更加科学靠谱。这次实验主要介绍如何运用数学软件进行模型组建，并结合数学理论分析求解模型。三、问题陈述第一题用所给数据数据建模分析赛跑成绩与赛跑距离的关系。第二题研究某地区实际投资额与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP）的关系，以便根据对未来国民生产生产总值及物价指数的估计，预测未来的实际投资额。四、模型及求解结果第一题共分 4 个步骤，分别叙述如下：步骤 1 在坐标系上画出观测数据的散点图：步骤 2 根据散点图，取线性拟合模型bxay. 步骤 3 利用数据),(iiyx估计模型参数ba,.就是在寻找超定方程（方程个数多于未知量的个数） yAd的近似解),(bad，其中
5、nnyyyxxA11,11称),(21nxxxX为设计矩形。 采用最小二乘法确定参数的估计值ba,，也就是求拟合残差平方和21)(niiibxayQ的最小值点),(ba。下面利用Matlab 指令完成参数估计。得到线性模型：x145.099。步骤 4 分析拟合效果，做拟合图结果如图所示：简单地根据拟合残差图和拟合残差平方和96.81Q看， 拟合的效果不是特别糟，但是，结果不符合实际，根据拟合得到的模型，当mx98.68时，跑步时间0y，显然不正确。实际上当跑步距离为零时，所需要的时间也为零。在前面选择模型时没有考虑到实际问题这一基本要求，因此导致矛盾的结果。修正模型，要求拟合函数满足条件0)0
6、(y,并根据散点图特点，取幂函数模型：baxy。为了利用线性拟合指令，令aaxuyzln,ln,ln*，则幂函数拟合问题转变为线性拟合buaz*。于是得到幂函数模型145.1048.0xy，结果比较符合时间，但是这样的拟合得到的不是使得平方和21)(niib iaxyQ达到最小的参数),(ba，为了改进拟合效果，可以进一步利用 Matlab 的非线性你和指令。由于非线性拟合求最小值点通常采用迭代逼近算法，需要先输入参数估计值作为初始值。因此选择前面通过线性化方法得到的参数拟合值作为下一步非线性拟合的参数初始估计值。这样得到幂函数模型：1678. 10416.0xy，残差平方和为1319.62Q
7、，可见非线性拟合极大地改进了拟合效果。注意，拟合模型通常也称为经验模型，换一组数据模型参数可能就会有些变化。第二题现在我国按图形分析法讨论问题，首先，表述问题， 选择变量，为确定实际投资额对国民生产总值和物价指数的依赖关系，取实际投资额为因变量y ，国民生产总值和物价指数分别为1x和2x，然后，进行数据描述性分析，由散点图可见y 线性依赖1x和2x，而且变化趋势很相似，怀疑1x和2x之间存在共线性性质。画1x-2x散点图马上证实这一点. 因此，实际投资额y 可以表示成其中一个自变量的函数，选择国民生产总值21xx，取线性模型bxay做回归分析。结果如下表所示：02000400050100150
8、200250300350400450500x1-y02450100150200250300350400450500x2-y0200040000.811.21.41.61.822.2x1-x2参数估计值置信区间a 2.8103 -21.8214 27.4420 b 0.1560 0.1413 0.1707 9650.02R, 9285.496F,0001.0104655.114P,0769.5832s下图给出了残差图：虽然，拟合度2R接近于 1，F统计量的概率值P x=100 200 400 800 1000 1500; y=9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1;
9、 plot(x,y,*) 步骤 2 根据散点图，取线性拟合模型bxay. 步骤 3 A=ones(size(x),x A = 1 100 1 200 1 400 1 800 1 1000 1 1500 d=Ay d = -9.9883 0.1455 z=d(1)+d(2).*x z = 4.5582 19.1047 48.1977 106.3837 135.4766 208.2091 步骤 4 plot(x,y,*,x,z,LineWidth,2) Q=sum(y-z).2) Q = 81.7599 A=ones(size(x),log(x) A = 1.0000 4.6052 1.0000
10、5.2983 1.0000 5.9915 1.0000 6.6846 1.0000 6.9078 1.0000 7.3132 D=Alog(y) D = -3.0341 1.1453 d0=exp(D(1),D(2) d0 = 0.0481 1.1453 fun=inline(d(1).*x.(d(2),d,x) fun = Inline function: fun(d,x) = d(1).*x.(d(2) Q1=sum(y-fun(d0,x).2) Q1 = 23.5746; d=nlinfit(x,y,fun,d0) d = 0.0416 1.1678 Q2=sum(y-fun(d,x).
11、2) Q2 = 6.1319 第二题代码 1： x1=596.7,637.7,691.1,756,799,873.4,944,992.7,1077.6,1185.9,1326.4,1434.2,1549.2,1718,1918.3,2163.9,2417.8,2631.7,2954.7,3073 x1 = 1.0e+003 * Columns 1 through 5 0.5967 0.6377 0.6911 0.7560 0.7990 Columns 6 through 10 0.8734 0.9440 0.9927 1.0776 1.1859 Columns 11 through 15 1.
12、3264 1.4342 1.5492 1.7180 1.9183 Columns 16 through 20 2.1639 2.4178 2.6317 2.9547 3.0730 x2=0.7167,0.7277,0.7436,0.7676,0.7906,0.8254,0.8679,0.9145,0.96011,1.0575,1.0575,1.1508,1.2579,1.3234,1.4005,1.5042,1.6342,1.7842,1.9514,2.0688 x2 = Columns 1 through 5 0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 Column
13、s 6 through 10 0.8254 0.8679 0.9145 0.9601 1.0575 Columns 11 through 15 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 Columns 16 through 20 1.5042 1.6342 1.7842 1.9514 2.0688 y=90.9,97.4,113.5,125.7,122.8,133.3,149.3,144.2,166.4,195,229.8,228.7,206.1,257.9,324.1,386.6,423,401.9,474.9,424.5 y = Columns 1 throug
14、h 5 90.9000 97.4000 113.5000 125.7000 122.8000 Columns 6 through 10 133.3000 149.3000 144.2000 166.4000 195.0000 Columns 11 through 15 229.8000 228.7000 206.1000 257.9000 324.1000 Columns 16 through 20 386.6000 423.0000 401.9000 474.9000 424.5000 subplot(1,3,1),plot(x1,y,*),title(x1-y) subplot(1,3,2
15、),plot(x2,y,*),title(x2-y) subplot(1,3,3),plot(x1,x2,*),title(x1-x2) 代码 2： A=ones(size(x1),x1; d,bint,r,rint,stats=regress(y,A);% 输出结果见下表 plot(r,*),axis(0,20,-60,60),title(residual)%画残差图表 1 投资额与国民生产总值的回归结果参数估计值置信区间a 2.8103 -21.8214 27.4420 b 0.1560 0.1413 0.1707 9650.02R, 9285.496F,0001.0104655.114P
16、,0769.5832s02000400050100150200250300350400450500x1-y02450100150200250300350400450500x2-y0200040000.811.21.41.61.822.2x1-x2代码 3： A=ones(size(x1(3:end),x1(1:end-2),x1(3:end); d,bt,r,rt,sts=regress(y(3:end),A); plot(r,*),grid 残差序列图：表 2.回归结果参数估计值置信区间a 25.5605 15.4515 35.6696 1b-0.5698 -0.6705 -0.4692 2b0.6160 0.5344 0.6976 9962.02R,31
