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1、2011-4-131第二章随机变量的分布和数字特征关键词：随机变量离散型随机变量连续型随机变量1随机变量的分布函数随机变量函数的分布随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部 概率特征也就知道了的全部 概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的确定的而在一些实际应用中而在一些实际应用中人们并不需要知人们并不需要知确定的确定的. 而在一些实际应用中而在一些实际应用中，人们并不需要知人们并不需
2、要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.例：例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度偏离程度；3 3偏离程度偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，
3、又要研究贫富之间的差异 程度。因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：、概念的引入： 我们来看一个引例我们来看一个引例.例例 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小 张每天生产的废品数车工小 张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何定 义如何定 义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们
4、先观察小张100天的生产情况天的生产情况若统计若统计100天天, 32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品; 17天每天出两件废品天每天出两件废品; 21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为 这个数能否作为这个数能否作为（假定小张每天至多出现三件废品 ）（假定小张每天至多出现三件废品 ）0321 302 17321 100 3230172101231.27100100100100 + +=+ +=+ +=+ +=X的平均值呢？的平均值呢？2011-4-132可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计10
5、0天，车工小张不出废品， 出一件、二件、三件废品的天数与前面的天，车工小张不出废品， 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一 般不会完全相同，这另外天一 般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数 也不一定是天每天的平均废品数 也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品; n1天每天出一件废品天每天出一件废品; n2天每天出两件废品天每天出两件废品;(假定小张每天至多出三件废品假定小张每天至多出三件废品) 一般来说一般来说, 若统计若统计n天天 ,n2天每天出两件废品天每天出两件废品; n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nn nn nn nn32103210+可以得到可以
6、得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为()这是以频率为权的加权平均这是以频率为权的加权平均nn nn nn nn32103210+当当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均 值时，用的平均 值时，用概率代替频率概率代替频率，得平均值为，得平均值为32103210pppp+这是以概率为权的加权平均这是以概率为权的加权平均3210pppp这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量我们就用这个数作为随机变量X 的平均值的平均值 .定义：定义：()()11() 1,2,kkkk kkkkk kXP Xxp
7、kx pXE Xx pE Xx p=?绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的值为随机变量的，数学期记望为即 敛，9 9()()1,kk kp=请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。定义的理解定义的理解 1、绝对收敛：可以保证级数的值不因为级数各 项的1、绝对收敛：可以保证级数的值不因为级数各 项的次序改变次序改变而产生变化。 2、数学期望是X的各个取值x而产生变化。 2、数学期望是X的各个取值xi i以它们的以它们的概率为权概率为权 的加权平均。
8、 3、随机变量的数学期望的加权平均。 3、随机变量的数学期望不一定不一定都存在。都存在。 4、EX存在，则其值是一个4、EX存在，则其值是一个与X无关的确定与X无关的确定的数。的数。例例1,21XX所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为01200.2 0.80120.60.3 0.11Xkp2Xkp的数学期望，和解：我们先来算的数学期望，和解：我们先来算21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 =+=+=+=+ +=+=XEXE例2( ),()
9、XPE X。设 求() 0,1, 0!keXP Xkkk=?解： 的分布律为：X的数学期望为：0()!kkeE Xkk=11(1)!kkek=12120!kk=1()!kk= ee=()E X=即=0kkke! 2011-4-133例3：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？ 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，(5, 0.2)XB则 设Y表示一周内所获利润，则5(10)(0)(10.2)0.328,P YP X=1
10、313( )5.216E Y =于是 （万元）()423(5)(1)5 0.2(10.2)0.410(0)(2)100.2(10.2)0.205(2)(3)0.057P YP XP YP XP YP XY= =于是 的分布律为： Y-2 0 5 10P0.057 0.205 0.410 0.328Y-2 0 5 10P0.057 0.205 0.410 0.328例4.某种电子元件使用寿命Xf(x) 规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元; 在500到1000小时之间为次品,产值为10元; 在1000到1500小时之间为二等品,产值为30元; 1500小时以上为一等品,产值为40元,
11、求该种产品的平均产值.110000( )1000 00xexf xx= = 解解解解: :设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,P(Y=0)=P(X = =.), 0(的数学期望的数学期望求求常数常数Wk 2022 311)()(kadvakvdvvfkvWEa = + + 解：由上面的公式解：由上面的公式例3.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量X(吨) 是个随 机变量，它服从区间2000,4000上的均匀分布，设该商品每 出售一吨，可获利3万美元外汇，但若销售不出去而压库，则 每吨支付保养费1万美元，问如何计划年出口量，可使期望获 利最多。3( )3()4y XyYg XXy XX
12、y Xy=0!keXP Xkkk=?的分布律为：()E X=由上节例4已算得2()E X而(1)()E X XE X=+(1)E X XX=+( )()XPD X。设，求 373722()() ()D XE XE X=所以即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数222(2)!kkek=+ 0(1)!kkek kk=+2=+2e e=+例4： ( , )( ) XU a bD X。设，求1( ) 0 axbbaf x= 其它1212( ,)N 22()21( )2x f xex = 2切比雪夫不等式切比雪夫不等式或或22 1| )(| XEXP22 | )(|XEXP，有不等式则对于任意正数方差具
13、有数学期望设随机变量定理,)(,)(2=XDXEX由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大2 21| )(| XEXP2011-4-138证证我们只就连续型随机变量的情况来证明我们只就连续型随机变量的情况来证明.，则有的概率密度为设)(xfX=22 )()(dxxfxdxxfXPXX+=22 22)()(1 dxxfx例例 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是 7300，均方差是
14、，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为所求为P(5200 X9400) P(5200 X9400)= P(-2100 X-E(X) 2100)= P |X-E(X)| 21002)2100()(1XD由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式P |X-E(X)| 21002)2100700(1=98 911=即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于之间的概率不小于8/9 .矩矩原点矩原点矩：对于正整数k,若E|X对于正整数k,若E|Xk k|+,称 v|+,称 vk k=EX=EXk kk=1,2,. 为随机变量X的k阶原点矩。k=1,2,. 为随机变量X的k阶原点矩。中心矩中心矩：对于正整数对于正整数k,k,若若E|XE|Xk k|+,|+,称称4949中心矩中心矩：对于正整数对于正整数k,k,若若E|XE|X |+,|+,称称 k k=E(X-EX)=E(X-EX)k kk=1,2,. 为随机变量X的k阶中心矩。注：EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩k=1,2,. 为随机变量X的k阶中心矩。注：E
