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1、高中数学必修 1 全册导学案汇编第 1 页 共 261 页1.1.1 集合的含义与表示（1）学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和 作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.学习过程 一、课前准备（预习教材 P2 P3，找出疑惑之处）讨论：军训前学校通知：8 月 15 日上午 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对 象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而
2、不是高二、高 三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然 科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学 知识准备必要的条件.二、新课导学 探索新知探究 1：考察几组对象： 120 以内所有的质数； 到定点的距离等于定长的所有点； 所有的锐角三角形； , , , ；2x32x 35yx22xy第 1 页 共 261 页 东升高中高一级全体学生； 方程的所有实数根；230xx 隆成日用品厂 2008 年 8 月
3、生产的所有童车； 2008 年 8 月，广东所有出生婴儿.试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知 1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.试试 1：探究 1 中都能组成集合吗，元素分别是什么？探究 2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知 2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种 且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要
4、构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .x k b 1 . c o m试试 2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： 不等式的解；30x 3 的倍数；第 1 页 共 261 页 方程的解； 2210xx a，b，c，x，y，z； 最小的整数； 周长为 10 cm 的三角形； 中国古代四大发明； 全班每个学生的年龄； 地球上的四大洋； 地球的小河流.x k b1 . co m探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知 3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于(belong to)集合 A，记作
5、：aA；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于(not belong to)集合 A，记作：aA.试试 3： 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合，则 5 B，0.5 B， 0 B， 1 B.探究 4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知 4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作 N；正整数集：所有正整数的集合，记作 N*或 N+；整数集：全体整数的集合，记作 Z；有理数集：全体有理数的集合，记作 Q；实数集：全体实数的集合，记作 R.第 1 页 共 261 页试试 4：填或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， Q， R.332探究 5：探究
6、 1 中分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一 个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知 5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与a不同.试试 5：试试 2 中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示. 典型例题例 1 用列举法表示下列集合： 15 以内质数的集合； 方程的所有实数根组成的 集合；2(1)0x x 一次函数与的图象的交点组成的集合.yx21yx第 1 页 共 261 页变式：用列举法表示“一次函数的图象与二次函数的图象的交
7、点”组成的集合.yx2yx三、总结提升 学习小结概念：集合与元素；属于与不属于；集合中元素三特征；常见数集及表示；列举法. 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有 区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合 的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差w w w .x k b 1.c o m 当堂检测（
8、时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A某个村子里的高个子组成一个集合B所有小正数组成一个集合C集合和表示同一个集合1,2,3,4,55,4,3,2,1D这六个数能组成一个集合1 3 611,0.5,2 2 442. 给出下列关系： ； ；1 2R2Q3N 3.Q第 1 页 共 261 页其中正确的个数为（ ）.w w w .x k b 1.c o m来源:学_科_网A1 个B2 个 C3 个D4 个3. 直线与 y 轴的交点所组成的集合为（ ）.21yxA. B. 0,1(0,1)C. D. 1,021(,0)24. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则
9、：深圳 A； 广州 A. （填或）5. “方程的所有实数根”组成的集合用列举法表示为_.230xx课后作业 1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于 10 的所有质数组成的集合；（2）10 的所有正约数组成的集合；（3）方程的所有实数根组成的集合.2100xx2. 设 xR，集合.23, ,2 Ax xx（1）求元素 x 所应满足的条件；（2）若，求实数 x.2A 第 1 页 共 261 页第 1 页 共 261 页1.1.1 集合的含义与表示（2）学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集
10、合语言的意义和 作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.学习过程 一、课前准备（预习教材 P4 P5，找出疑惑之处）复习 1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备 、 、 特征.集合与元素的关系有 、 .复习 2：集合的元素是 ，若 1A，则 x= .221Axx复习 3：集合1,2、(1,2)、(2,1)、2,1的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学 学习探究思考： 你能用自然语言描述集合吗？2,4,6,8第 1 页 共 261 页 你能用列举法表示不等式的解集吗？13x 探究：比较如下表示法 方程的根；210x
11、； 1,1 .2|10xR x 来源:学+科+网 Z+X+X+K来源:学#科#网新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中 x 代表元| xA P素，P 是确定条件.试试：方程的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .230x 典型例题例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合；2(1)0x x （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.x k b 1 . c o m第 1 页 共 261 页x k b1 . co m练习：用描述法表示下列集合.（1）方程的所有实数根组成的集合；340xx（2）所有奇数组成的集合.小结
12、：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，、明确时可省略，例如xRxZ,. |21,x xkkZ |0x x 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线上的所有点组成的集合；21yx（2）方程组解集.3222327xyxy 第 1 页 共 261 页变式：以下三个集合有什么区别.（1）；2( , )|1x yyx（2）；2 |1y yx（3）.2 |1x yx反思与小结： 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.2( , )|1x yyx2 |1y yx 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，. |1x x |3 ,x xk kZ 集合的 已包含“所有”的
13、意思，例如：整数，即代表整数集 Z，所以不必写全体整数.下列写 法实数集，R也是错误的. 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多 或有无限个元素时，不宜采用列举法. 动手试试练 1. 用适当的方法表示集合：大于 0 的所有奇数.第 1 页 共 261 页练 2. 已知集合，集合. 试用列举法分别表示集合 | 33,AxxxZ 2( , )|1,Bx yyxxAA、B.三、总结提升 学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法） ；2. 会用适当的方法表示集合； 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形
14、的集合可以表示为：，也可以写成：直角三角形； |x x是直角三角形第 1 页 共 261 页（2）集合与集合是同一个集合吗？2( , )|1x yyx2 |1y yx2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称 Venn 图.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 设，则下列正确的是（ ）.|16AxNxA. B. 6A0AC. D. 3A3.5A2. 下列说法正确的是（ ）.A.不等式的解集表示为253x 4x B.所有偶数的集合表示为 |2 x xkC.全体自然数的集合可表示为自然数D. 方程实数根的集合表示为240x ( 2,2)3. 一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）.3yx2yx A. B. 1, 21,2xy C. D. ( 2,1)3( , )|2yxx yyx 4. 用列举法表示集合为|510AxZx.5.集合 Ax|x=2n 且 nN， ，用或填空：2 |650Bx xx4 A，4 B，5 A，5 B.第 1 页 共 261 页课后作业 1. （1）设集合 ，试用列举法表示集合 A.
