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1、1 2014学年第二学期松江区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.4 一填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得4 分，否则一律得 0 分1已知集合1= 1,22A，集合2=|,By yxxA，则AB2若复数iiz(21为虚数单位） ，则zzz3已知直线l的一个法向量是1,3n，则此直线的倾斜角的大小为4某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数16 50800k若从161中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为4833的这
2、16个学生中抽取的一名学生其编号应该是5在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，若3,2,3acA，则ABC的面积为6设函数)12(log)(2xxf，则不等式)(2xf1 2(log 5)f的解为7直线yx与曲线3cos:4sinxCy(为参数，2) 的交点坐标是8甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至 多一人击中目标的概率为9 矩阵1211222232332123inininnninnaaaaaaaaanaaa中每一行都构成公比为2 的等比数列， 第i列各元素之和为iS，则2lim2n nnSn10如图所示
3、：在直三棱柱111ABCABC中，ABBC，1ABBCBB,则平面11ABC与平面ABC所成的二面角的大小为11执行如图所示的程序框图，输出的结果为a，二项式421mx x的展开式中3x项的系数为2a ，则常数m12设)(xf是定义域为R 的奇函数，)(xg是定义域为R 的偶函数，若函数)()(xgxf的值域为)3, 1，则函数)()(xgxf的值域为13ABC所在平面上一点P满足0,PAPCmAB mm为常数，若ABP的面积为6，则ABC的面积为14对于曲线C所在平面上的定点0P，若存在以点0P为顶点的角，使得0AP B对于曲线C上的任意两个不同的点BA,恒成立，则称角为曲线C相对于点0P的
4、“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于CBAC1B1A12 点0P的“确界角” 曲线 )0(12)0(1: 22xxxxyC相对于坐标原点O的“确界角”的大小是二选择题（本大题满分20分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得 0 分15下列不等式中，与不等式302xx同解的是（）（A）320xx（B）320xx（C）203xx（D）302xx16设MN、为两个随机事件，如果MN、为互斥事件，那么（）（A）MN是必然事件（ B）MN是必然事件（C）M与N一定为互斥事件（ D）M与N一定不为互斥事件17在
5、极坐标系中，与曲线1cos关于直线6(R)对称的曲线的极坐标方程是（）（A）1) 3sin(（B）1)3sin(（C）1) 6sin(（D）1)6sin(18已知函数2( )sinf xxx，各项均不相等的数列nx满足2ix(1,2,3, )in令* 1212( )()()()() ()nnF nxxxf xf xf xnN给出下列三个命题：(1)存在不少于3 项的数列nx，使得( )0F n；(2)若数列nx的通项公式为*1 2nnxnN，则(2 )0Fk对*kN恒成立；(3)若数列nx是等差数列，则( )0F n对*nN恒成立其中真命题的序号是（）（A）(1)(2) （B）(1)(3) （
6、 C） (2)(3) （D）(1)(2)(3) 三解答题（本大题满分74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤19( 本题满分12 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分6 分 如图，在Rt AOB中， 6OAB，斜边4AB，D是AB的中点 现将Rt AOB以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC（ 1）求该圆锥的全面积；（ 2）求异面直线AO与 CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）3 20( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8
7、 分 一个随机变量的概率分布律如下：x1 x2Pcos2 Asin(B+C)其中, ,A B C为锐角三角形ABC的三个内角（ 1）求A的值；（ 2）若1cosxB，2sinxC，求数学期望E的取值范围21( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B， 抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D 已知梯形的高是40厘米，CD、两点间的距离为
8、40厘米（ 1）求横梁AB的长度 ; （ 2）求梯形外框的用料长度（注 :细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1 厘米）22( 本题满分16 分) 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分已知函数11( )2f xxx，11( )2g xxx（1）求函数( )2h xfxg x的零点；（ 2）若直线:0, ,l axbyca b c为常数与( )f x的图像交于不同的两点AB、，与( )g x的图像交于不同的两点CD、，求证：ACBD；（3）求函数22*( )nn F xfxg xnN的最小值23( 本题满分18 分) 本题共有3 个小题，
9、第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分SRPQDCBAO4 对于一组向量naaaa,321(*nN)， 令nnaaaaS321， 如果存在pa(1,2,3,pn)，使得|pnpaSa，那么称pa是该向量组的“h向量” （1）设),(nxnan(*nN)，若3a是向量组321,aaa的“h向量” ，求实数x的取值范围；（2）若)1(,) 31(1nn na(*Nn)，向量组naaaa,321是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知123a a a、均是向量组321,aaa的“h向量” ，其中)cos,(sin1xxa，)sin2,cos2(2xxa 设
10、在平面直角坐标系中有一点列nQQQQ, 321满足：1Q为坐标原点，2Q为3a的位置向量的终点，且12kQ与kQ2关于点1Q对称，22kQ与12kQ(*Nk)关于点2Q对称，求|20142013QQ的最小值理科参考答案5 一、填空题： （每题 4 分）1. 12. 62i3. 64. 395. 326. 0x7. 1212,558. 0.589. 1410. 411. 1412. 3, 113. 1214. 512二、选择题： （每题 5 分）15. D 16. A 17. C 18. D 三、解答题19、解：（1）在Rt AOB中，2OB，即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8Srl侧.4故圆锥
11、的全面积=+8 +412SSS全侧底 .6（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则(0,0,23),(2,0,0),(0,1,3)ACD(0,0, 2 3),( 2,1,3)AOCD.8设AO与CD所成角为则66cos42 3 22AO CDAOCD.10异面直线AO与CD所成角为6arccos4.12解法二：过D作/ /DMAO 交 BO 于M，连 CM则CDM 为异面直线AO 与 CD 所成角 .8AOOBC平面QD MO B C平面DMMC在Rt AOB中，2 3AO3DMDQ是AB的中点M是 OB 的中点1OM5CM在Rt CDM中，515tan33CDM，.1015arctan3CDM
12、，即异面直线AO与 CD 所成角的大小为15arctan3.1220、解：（1）由题cos2sin1ABC，.2则212sinsin1AA1sinsin02AA舍 .4又A为锐角，得 6A.6（2）由 6A得56BC，则1cos2 = sin2ABC，即1212PxPx .8BCDAOzxy6 11cossin22EBC .915133cossinsincos26244CCCC3sin26C， .11由ABC为锐角三角形，得0,2,3266 350,62CCCBC则13sin,622C，得3 3,44E.1421、解：（1）如图，以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系设梯形下底与
13、y轴交于点M，抛物线的方程为：220xpy p由题意20, 40D，得5p，210xy .3取2010 2yx，即10 2,20 ,102,20AB20 228ABcm答：横梁AB的长度约为28cm.6（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设:201020RQlyk xk.7222010 210100 220 10yk xxkxk xy则2100400 2202 2kkk，即:2 220RQlyx .10得52,0 ,15 2,40QR5 2,15 2,30 2OQMRRQ梯形周长为2 5 215 230 21002141 cm答：制作梯形外框的用料长度约为141cm .1
14、4yxSRPQMDCBAO7 22、解：（1）由题313( )0223xh xxx，函数( )h x的零点为33x 4（2）设11223344,A x yB xyC x yD xy20220112axbycab xcxbyxx，则1222cxxab.8同理由20220112axbycab xcxbyxx，则3422cxxab则AB中点与CD中点重合，即ACBD.10（3）由题222111( )2nnnF xxxxx122326236 2212 2 22222122222nnnnnn nnnnnCxCxCxCx.121222 23266 2236 226212 222 2222212nnnnnn
15、nnnn nnnnnCxxCxxCxxCxx132321 22222122222nn nnnnnCCCC.141，当且仅当1x时，等号成立所以函数( )F x的最小值为1 .1623、解： (1)由题意，得：|213aaa，则22)32(9)3(9xx .2解得：02x.4(2) 1a是向量组naaaa,321的“h向量” ，证明如下：) 1, 1(1a，2|1a当n为奇数时，)0 ,)31(2121()0 ,311)31(131(1132nnnaaa .6111110( )2232n，故|32naaa2210)31(21 21221n 8即|321naaaa当n为偶数时，)1 ,) 31(2121(1 32n naaa故|32naaa2451)31(2121221n即|321naaaa综合得：1a是向量组naaaa,321的“h向量” .108 (3)由题意，得：|321aaa，2 322 1|aaa，即2 3221)(aaa即322322212aaa
