《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第13章《正弦定理与余弦定理》竞赛专题复习含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第13章《正弦定理与余弦定理》竞赛专题复习含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第 13 章 正弦定理与余弦定理13.1.1 已知点是内一点，使得.PABCPABPBCPCA 求证：.22221111 sinsinsinsinABC解析 如图，设的三边为、，对应角分别为、，ABCabcABC ，同理，.180180BPCCC 180CPAA180APBBABCP 由正弦定理，故，同理，sin sinBP ABBsin sinBPcBsinCPaCsin sinAPbAABCABPCBPSSS2 221111()sinsin(22 sinsinsinsinsinCAPABCbcacabSAB APBC BPCA CPSABCAB.2 2
2、1)sinsin C于是.22221111 sinsinsinsinABC13.1.2在的及边上分别取点、，使，ABCACBCXYABXYAC AYBBXC ，求的所有内角.XCYBABC 解析 如图，易知，故.CAYBYACBXCABXBAC ABBCABCXYP又由正弦定理，.sinsinsinsinBYXCBAYAYBBXCXBCABBC于是（易见） ，故，.BAYXBC 180BAYXBC BACABC BCAC 于是为正三角形，各内角均为.ABC6013.13 已知凸四边形，、上分别有点、，ABCDACBDABBCCDDAFGHE ，求证：、共点.ABFDBCDGCDBHADBEFH
3、GEAC 解析 如图，设、垂心分别为、，与交于，与交于.ABDBCDMNFHACKEGACK2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2AFEMBDKKGH C由正弦定理及四点共圆，有，sinsinsin sinsinsinMKHFDHBDDCA MFMKFMKFMKF，sinsinsin sinsinsinNKFHBFDBBAC NHNKHMKFMKF于是.sin sinMKMFDCAAM NKNHBACCN同理，得与重合，即、共点.MKAM NKCNKKFHGEAC13.1.4 已知，在上，、延长后交于，是的外心（在ABCDYEBCAEDCFOECF 内） ，若、共圆，则.ECFBOCDADFD
4、解析 如图，设，.作，、分CBOCDO BCOOFDOMBCONCFMN别是、之中点.CECFADBCEMOFN易知，222221111111BMBEEMBEBEBCADDFDCCDND MCMCCMECECCECFCFNFNF 此即，于是.coscos coscosBODO COOF coscosBODO 又由正弦定理，于是，故sinsinsinsinBOCOFODO tantanBOCDOF.ADBCDF13.1.5有一个凸四边形，顶点均在一圆周上，且，求ABCD2AB 3BC 4CD 5DA 的值.AC BD解析 由正弦定理知，其中、为三边长，为外接圆半径.于是由4ABCabcSRabc
5、R，并考虑个三角形有共同的外接圆，故有ABCACDABDBCDSSSS4AB BC CACD DA CA2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3.AB AD BDBC CD BD代入数字，得，于是.6201012CACABDBD11 13AC BD13.1.6已知凸四边形，对角线交于，过的一条直线分别交、于、ABCDPBPDPPABCDG ，过的另一条直线分别交、于、，、分别交于、，HPADBCEFGFEHBDMN 求证：.PMPN解析 如图，设好各角.由知，故16BPPDABCACDSSsin( 12)AB BCAD CD ，sin( 34) A GEBDMNFPHC1 23 45 656由正
6、弦不定理，知止式可改为，于是sin3sin1sin1sin2 sin( 34)sin( 12) sin5sin6sin( 34)sin3sin4 ，此即，两边同时除去sin5sin6sin( 12)sin1sin2 sin( 34)sin( 12)ED HDBG BF PE PHPG PF ，即得，此即，故.sin( 56) BGFDEHPGFPEHSS SSBMDN PMPNPMPN13.1.7证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形的对角线交于，又设，ABCDPAPB 则.2222 cos2ADBCABCD AC BD解析 如图，由余弦定理，2222cosABAPBPAP BPABDCP
7、，2222cosCDCPDPCP DP又，222222cos(180)2cosBCBPCPBP CPBPCPBP CP，2222cosADAPDPAP DP 所以2222ADBCABCD 2()cosAP DPBP CPCP DPAP BP.2cosAC BD2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4因此结论成立.13.1.8梯形，上底，下底，、延长后交于，ABCDACBDADmBCnmnBACDP ，试用、表示梯形的高.Pmn解析 如图，设，则由，有.ABaCDbACBD2222abmnPADBKC又在上找一点，使.则由余弦定理，BCKAKCD222()2cosmnabab于是.cosabmn设
8、梯形的高为，则由，有，故.hABKS()sintannm kabmntanmnhnm13.1.9锐角三角形中，为边上的高，为上一点，ABCBDACEAB45AEC2BDCE，求证：.CEACADDEBC解析 如图，由及得.因此11sin4522ABCBD ACSAB CE2BDCE2 2ABAC22228ACABADBD，224()ADACADADCBE即 ，(25)(2)0ACADACAD故 .5 2AC AD不妨设，则，.5AC 2AD 3CD 7CE 设，由，利用余弦定理得：AEx45AEC，2492 7cos4525xx 解得 或.3 2x 4 2当时，故4 2x 4 22 22AEA
9、B ADAC.EDBC当时，在中，3 2x AEC2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5.182549cos02 3 2 5A 与为锐角三角形矛盾，故舍去.ABC13.1.10 试用身影定理推导余弦定理. 解析 如图，对于，作，注意可在外，则有（、为的三对应ABCADBCDBCabcABC 边长），则理有，三个方程联立，即解得coscoscBbCacoscosaBbAccoscosaCcAb等三个式子，这就是余弦定理.222 cos2bcaAbcABDC13.1.11已知关于的方程，四边形中，x224(2)160xkxkABCD，且（如图所示）.45CAD60ADC532ABCS1cosBkA
10、BCD（1）当方程有两个相等实数根时，求及此方程的根；B （2）若此实根等于、之和，求之长.ABBCCD 解析 （1）因方程有两个相等实数根，故，224(2)640kk 解得或.2 3k 2k 因，故不符合题意，应舍去，从而，所以.|cos|1B 2 3k 11cos2Bk 120B此时原方程可化为：，解得.216640xx8x （2）因，从而5 313sin224ABCSAB BCBAB BC.10AB BC又 ，8ABBC 故222cosACABBCAB BCB2()22cosABBCAB BCAB BCB2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6.54即.3 6AC 因，故由正弦定理得.45
11、CAD60ADC6CD 13.1.12设是正方形内部一点，到顶点、的距离分别是 、2、3，求正方形的面积.PPABC1解析 如图所示，设，则在中，；在中，ABxABP22413cos44xxABPxxPBC.于是，解得.注意到，22495cos44xxPBCxx222235144xx xx252 2x cos0CBP故应舍去.252 2x ADPBC从而，即正方形面积为.252 2x 52 213.1.13已知中，是高，是中点，求证：.并由此证ABCABACADEBC22 2ABACEDBC明，若，是角平分线，在上，则.ABACASTBSBTCS232()ATASABAC解析 如图，2222
12、()()()ABACBDCDBDCDBDCDBDCDBEEDCEEDBCBCBC，注意其中可取负值.2EDCDABTE SDC又中点也是，故TSE，2222 2ATASABACEDSTBC而STBSBTBSCS，AB BCAC BC ABAC于是22 22()ABAC BCABACATASABACBC2()ABAC2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7评注 本题亦可先用余弦定理求出.CD13.1.142 已知中，延长到点，连结，若，且ABC90ABCACDBD30CBD ，求之长.1ABCDAC解析 如图，设，则ACxBDyABCD30ABCBCDSACxCDS1 2 1sin302AB BC
13、BC BD .22 BDy又由余弦定理，2222cos120ADABBDAB BD此即.2 22(1)1xxx 化简并整理，得，3(2)(2)0xx解得（舍） ，.12x 3 22x 所以.32ACx13.1.15已知正方形，、分别在、上，与分别交于、，若ABCDEFBCCDAEAFBDGH ，求证：以、为边的三角形有一内角是.BECFBGGHHD60ADHGFBEC解析 设，则，且，1AB BExDFy1xy1BGx BDx1HDy BDy11GHx BDx 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义8.1 12yxy yxy于是由比例及余弦定理知只需证明，222221 2(1)(1)2xyxyxy xyxyxy即.22222(1)(1)(1)(2)xyxyyxxy xy而右式左式，证毕.222222()2(1)xyxy xyxyx yxy13.1.16有一个等腰三角形，底边上的高是，是上一动点，关于、ABCBChAPBCPAB的对称点分别是、，四边形是平行四边形，则至的距离.ACQRXQPRXBC2 (1cos )hh 解析 如图，由于、互相平分，故、至距离之和XPQRhQ RBCsinsinPQQPBPRRPC2()s
