《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第5章《不等式》竞赛专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第5章《不等式》竞赛专题复习（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 5 章章 不等式不等式5.1 一元一次不等式（一元一次不等式（组组） ）5.1.1已知，且，试比较与的大小.2(2)3(41)9(1)xxx9yx1 y10 31y解析 首先解关于的方程得.将代入不等式得，即.又因x10x 10x 109y 1y 为，所以110 31110 31yy5.1.2解关于的不等式.x233122xx aa解析 由题设知，去分母并整理得0a .(23)(23)(1)axaa当，即时，；230a 3(0)2aa 1xa当，即时，无解；230a 3 2a 当，即时，.230a 3 2a 1xa评注 对含有字母系数的不等式的解，也
2、要分情况讨论.5.1.3已知不等式的解为，求不等式的(2)340ab xab4 9x (4 )230ab xab解.解析 已知不等式为.由题设知(3)43ab xba20, 434. 29ab ba ab所以 2, 7.8abba由，可得，从而，.728aa0a 0a 7 8ba于是不等式等价于(4 )230ab xab，721()2028aa xaa即，解得.55 28axa1 4x 所求的不等式解为.1 4x 5.1.4如果关于的不等式x (2)50ab xab2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2的解集为，求关于的不等式的解集.10 7x xaxb解析 由已知得 ，(2)5ab xba.
3、710x 由已知和的解集相同，所以27,510,abba 解得5,3.ab 从而的解集是.axb3 5x 5.1.5求不等式 111(1)(1)(2)326xxx的正整数解.解析 由原不等式可得，所以是原不等式的解.因为要求正整数解，所以原不17 36x7 2x等式的正整数解为，2，3.1x 5.1.6如果不等式组的整数解仅为 1、2、3，那么适合这个不等式组的整数、90,80xaxb a的有序数对（，）共有多少对？bab解析 由原不等式组可解得.98abx 如图所示，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得01,934.8ab x012345即09,2432.ab 所以，1，2，9 共个
4、，26，32 共 个，于是有序数对（，）共有a 925b 8ab个.9 8725.1.7设、是正整数，求满足，且最小的分数.ab89 910a bba b 解析 欲求的最小值，只需将放入一个不等式，然后估计出的下界，这里要用到整数bbb2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3的离散性，即若整数、满足，则.xyxy1xy 原不等式等价于8,9 9,10a b a b 即89 ,109 .baab 所以 819 ,1019 .baab 故，9181910bb解得.19b又分数满足，故最小且满足题意的分数是.17 198179 91910b17 195.1.8已知，求的最大值和最小值.520m2530
5、nm n 解析 因为，所以的最大值为，最小值为；的最大值为，520m2530nm205n30 最小值为.25故的最大值为；的最小值为.m n204 255m nm n51 306m n5.1.9求同时满足，和的的最大值及最小值.6abc23abc0bca 解析 由和，得6abc23abc，.3 2ab93 2ac再由得，解此不等式，得.0bc393022aa332a所以的最大值为 ，最小值为.a33 25.1.10求适合，且满足方程的取值范围.2xyxyy3523yyxx解析 ，所以.于是3523yyx35yx，.2(35)35xxxx2x 故的取值范围是.x2x 5.1.11当、为非负数时，
6、求的最xyz323yzx343yzx334wxyz大值和最小值.解析 由解得323,343 ,yzxyzx 14 , 57.3zx xy 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4因为、均为非负数.所以，从上面可得.xyz15 47x334357416wxyzxxx.269x.567 27w所以的最大值是，的最小值是.w67 7w5 25.2 含含绝对值绝对值的不等式（的不等式（组组） ）5.2.1（1）解不等式；1|32|2x （2）解不等式.|32|3x 解析 根据绝对值的非负性，易知（1）无解， （2）的解集为全体实数.5.2.2解不等式.|5|23| 1xx解析 原不等式的零点为、.根据零
7、点的情况分类讨论.53 2 （1）当时，原不等式化为5x ，(5)(23)1xx解之，得.3x 所以，此时不等式的解为.5x （2）当时，原不等式化为3 2x ，(5)(23)1xx解之，得.1x 所以，此时不等式的解为.1x （3）当时，原不等式化为352x，(5)(23)1xx解之，得.7 3x 所以，此时不等式的解为.753x综上，原不等式的解为或.1x 7 3x 评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义，去掉不等式中的绝对值 符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法.5.2.3解不等式.|7|2| 3xx解析 1 如图，分别用、两点代表和.AB72 表示某点（所对应
8、的点）到点和点的距离差.又当时，点到、|7|2|xxCxAB1x CA两点的距离差恰好为 .B32018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5ACBxO2-7-1当点靠近点时，到、两点的距离差变小，所以原不等式的解为CACAB.1x 解析 2 因为、2 分别是和的零点，于是分三种情况讨论：7|7|x |2|x （1）当时，原不等式变为7x ，(7)(2)3xx此式恒成立，故是原不等式的解.7x （2）当时，原不等式变为72x ，(7)(2)3xx解得 .1x 所以，是原不等式的解.71x （3）若，原不等式变为2x ，(7)(2)3xx即，此不等式无解.53 综上所述，原不等式的解为.1x 5.2.4
9、解不等式.|3|3| 3xx解析 原不等式等价于 ，|3|3| 3xx或. |3|3|3xx 的解为；的解为.3 2x 3 2x 所以，原不等式的解为或.3 2x 3 2x 5.2.5解不等式：.25| 60xx 解析 注意，整体分解.22(|)xx由题意得 ，(| 2)(| 3)0xx即 或，| 3x | 2x 而由得| 3x 或，3x 3x 由得| 2x .22x 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6所以，原不等式的解为或或.3x 22x 3x 5.2.6解不等式组：22350, |2| 10.xx x解析 由得或.22350xx7x 5x 由得.|2| 10x 812x 于是原不等式组
10、的解就是75,812,xxx 或即 或.87x 512x5.2.7取何值时，不等式a |25|42 |xxa无实数解？解法 1 欲使不等式无实数解，关键是求出的最小值.|25|42 |xxa|25|42 |xx因、的零点分别是、.|25|x |42 |x5 22当时，.当时，5 2x|25|42 |(25)4214xxxxx 5 2x 有最小值；|25|42 |xx9当时，最小值及最大值都是；522x|25|42 | 25429xxxx9当时，无最小值.2x |25|42 | 252441xxxxx故的最小值为.|25|42 |xx9欲使不等式无实数解，则.|25|42 |xxa9a解法 2
11、由，得| |abab，|25|42 | |2542 | 9xxxx故欲使不等式无实数解，只需即可.|25|42 |xxa9a5.2.8若不等式有解，求的取值范围.|1|3|xxaa解析 1 利用不等式性质： ，|1|3| |1(3)| 4xxxx 又，|1|3|xxa2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7可得.4a解析 2 根据绝对值的几何意义，因为、分别表示数轴上点到点和 的距|1|x |3|x x13离，所以表示数轴上某点到：和： 的距离和.从图可见，不论在点|1|3|xxA1B3xA左边或者点右边时，到、点距离和至少为；当在两点之间时，到、点BxAB4xABxAB 距离和为.所以.44a
12、xOBA评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法 （1）当时，原不等式化为；1x224ax （2）当时，原不等式化为；13x 4a （3）当时，原不等式化为.3x224ax 综上所述，.4a 本题中，两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义.5.2.9已知且，求的取值范围.0n |mnmmnm解析 整理可得.(1 |) 1 |mmnm因为，所以0n ，(1 |)01 |mm m即 .(1 |)0mm（1）当时，解之得.0m 1 | 0m10m （2）当时，解之得.0m 1 | 0m1m 综上，的取值范围为或者.m10m 1m 5.2.10解不等式.24| 30xx 解析 1
13、 因为，24| 3(| 1)(| 3)0xxxx 所以 或，| 1x | 3x 即或者或者.11x 3x 3x 解析 2 考虑函数.注意到对任意实数，有.从函数图象来2( )4| 3f xxxx()( )fxf x看，这个函数的图象关于轴对称，即只需作出时的图象，再把函数图象关于轴作对y0x y称即可. 如图，可知，原不等式的解为使得图象在轴上方的的取值集合：xx或者或者.11x 3x 3x 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义8xyO-4-2242468评注 当我们从函数图象的角度去解不等式时，有两点需要引起读者注意：表示的函(|)fx数图象是在轴正向部分图象及其与关于轴翻折；的图象是把在轴下( )f xxy|( )|f x( )f xx方的图象关于轴翻折后的图象.由这两点，利用数形结合的方法，是比较巧的.x5.2.11解不等式.2|41| 3xxx解析 （1）当，即或时，原不等式变形为2410xx 23x23x.2413xxx 解不等式组，得或.73 5 2x73 5 2x（2）当，即时，原不等式变形为2410xx 2323x.2(41)3xxx此时，不等式组无解. 综上，原不等式的解为或.73 5 2x73 5
