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1、11.31.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式教学设计教学设计【教学目标教学目标】1.1.诱导公式(一)、 （二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明【导入新课导入新课】1.复习公式一，公式二2.回忆公式的推导过程新授课阶段新授课阶段1诱导公式二：思考：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？180（2） 写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标180,P P（3）任意角与呢？180结论：任意与的终边都是关于原点中心对称的则有，180( , ),(,)P x y Pxy由正弦函数、余弦函数的定义可知：， ；s
2、inycosx， sin(180)y cos(180)x 从而，我们得到诱导公式二： ；sin(180)sincos(180) cos说明：公式中的指任意角；若是弧度制，即有，；sin()sincos() cos公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：sin(180)sintan(180)tancos(180)cos 2诱导公式三：思考：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究；360（2）任何角与的终边位置关系如何？可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看与，与202018020的终边的关系从而易知，201802,33)kz 与，（2k+1），(终边相同，所以三角函
3、数值相等由与的终边与单位圆分别相交于 P 与 P，它们的坐标互为相反数 P(x，y)，P(-x，-y)（见课本图 1-18） ，所以有cos(21)-cosk（三）sin(21)-sinktan(21)tank结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：；sin()sin cos()cos说明：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：tan()tan 3诱导公式四：；sin(180)sincos(180)cos 4诱导公式五：；sin(360)sin cos(360)cos说明：公式四、五中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特
4、点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：；tan(180)tan tan(360)tan 5公式六： cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(说明：公式六中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名变化，符号看象限结合公式（一）和（三）可以得出下结论：3sin ,sin()sinannan 当为奇数，当为偶数cos ,cos()cosannan 当为奇数，当为偶数tan()tan,nnZ由与和单位圆分别交于点 P与点 P，由诱导公式（二）和（三）或 P与点 P关于 y 轴对称，可以得到 与只见的三角函数关系（见课本图 1-19）sinsin(
5、 ）-coscos( ）例 1 下列各三角函数值： 219sin120cos135tancos()34解：3sin120sin(3090 )cos3022cos135cos(4590 )sin452 2tantan()cot33626 191932cos()coscos(4 )cos()sin4444242 例 2 将下列三角函数化为0到45之间角的三角函数：sin68cos75tan126解：略例 3 求下列三角函数值：（1）； （2）sin96043cos()6解：（1）（诱导公式一）sin960sin(960720 )sin240（诱导公式二）sin(18060 )sin60 3 2 （
6、2）（诱导公式三）4343cos()cos664（诱导公式一）77cos(6 )cos66（诱导公式二）cos()cos66 3 2 例 4 （1）化简；23cotcos() sin (3) tancos () （2）sin120cos330sin( 690 )cos( 660 )tan675cot765解：（1）原式23cot( cos ) sin () tancos () 23cot( cos ) ( sin) tan( cos ) 23cot( cos ) sin tan( cos) 2222cossin1sincos （2）原式sin(18060 ) cos(36030 )sin(72
7、0690 )cos(720660 )tan(675720 )cot(765720 )sin60 cos30sin30 cos60tan( 45 )cot453311tan4512222311 1144 例 5 已知：，求的值tan32cos()3sin() 4cos()sin(2) 解：，tan3原式2cos3sin23tan74cossin4tan 例 6 已知，且是第四象限角，求的3sin5 tan cos(3)sin(5)值5解：tan cos(3)sin(5)tan cos()sin()tan( cossin)tansintancossin(tan1)由已知得：， 原式43cos,ta
8、n54 21 20例 7 化简sin()sin()()sin()cos()nnnZnn 解：当时，2 ,nk kZ原式sin(2)sin(2)2 sin(2)cos(2)coskk kk 当时，21,nkkZ原式sin(21) sin(21) 2 sin(21) cos(21) coskk kk 课堂小结课堂小结1五组公式可概括如下：的三角函数值，360 (),180,360kkZ等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；2要化的角的形式为（为常整数） ；ok 90k3记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限” ；（k 为奇数还是偶数）4利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为
9、锐角的三角函数其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了” 作业作业课本第 32 页习题 B 组第 1、2 题拓展提升拓展提升1若，则的取值集合为（ )cos()2sin(）AB42|Zkk42|ZkkCD|Zkk2|Zkk2已知那么（ ,)1514tan(a1992sin6）ABCD 21|aa21aa21aa 211a3设角的值等于（ 则,635 )(cos)sin(sin1)cos()cos()sin(222 ）ABCD33 33334当时，的值为（ Zk ) 1cos() 1sin()cos()sin( kkkk）A1B1C1D与取值有关5设为常数） ，且,(4)cos()sin
10、()(baxbxaxf那么 （ ）, 5)2000(f)2004(fA1B3 C5D7 6已知，则值为（ ）3sin()423sin()4A. B. C. D. 21 21 23 237cos (+)= ，,sin(-) 值为（ ） 21 23 22A. B. C. D. 23 21 23238化简：得（ ）)2cos()2sin(21A. B. C. D.sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin29已知，那么的值是（ ） 3tan23sincosA B C D 231231 231 23110已知则 . , 0cos3sin cossincossin11如果且那么的终边
11、在第 象限, 0sintan, 1cossin0712求值：2sin(1110) sin960+ )210cos()225cos(213设，求的值( )f)cos()7(cos221)cos(2)(sincos2223 ()3f14已知方程 sin( 3) = 2cos( 4)，求的值 )sin()23sin(2)2cos(5)sin(8参考答案1D 2C 3C 4A 5C 6C 7 8C 9B102 11二 12-213解：coscos221cos2sincos2)(223f= coscos221cos2)cos1 (cos2223= coscos22cos2coscos2223=cos2coscos2)2coscos2(cos22 ()3fcos3 2114解： sin( 3) = 2cos( 4)， sin(3 ) = 2cos(4 ) sin( ) = 2cos( ) sin = 2cos 且 cos 043 cos4cos3 cos2cos2cos5cos2 sincos2cos5sin 原式
