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1、 小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班 第 1 讲 教师版 page 1 of 14 希望杯思维训练 希望杯思维训练 巧求周长与面积 巧求周长与面积 长方形周长公式：长方形周长长方形周长公式：长方形周长=（长（长+宽）宽） 2 ，记作：，记作：C长方形长方形()2ab=+； 长方形面积公式：长方形面积长方形面积公式：长方形面积=长长宽，记作：宽，记作：S长方形长方形ab=； 正方形周长公式：正方形周长正方形周长公式：正方形周长=边长边长 4 ，记作：，记作：C正方形正方形4a=； 正方形面积公式：正方形面积正方形面积公式：正方形面积=边长边长边长，记作：边长，记作：S正方形正方形2a=
2、； 三角形面积公式：三角形面积三角形面积公式：三角形面积1 2=底底高，记作：高，记作：S三角形三角形1 2ah=； 巧求周长时，常用到“平移线段法” ；巧求周长时，常用到“平移线段法” ； 巧求面积时，常用到“割补法” （将图形平移、对称、旋转） 。巧求面积时，常用到“割补法” （将图形平移、对称、旋转） 。 角 角 角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，射线的端点称为角的顶点，两条射线称为角的两条边。角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，射线的端点称为角的顶点，两条射线称为角的两条边。 按照角度的大小，角可以分成：按照角度的大小，角可以分成： 大于大于0o、小于、小于90o的角称为锐角
3、； 等于的角称为锐角； 等于90o的角称为直角； 大于的角称为直角； 大于90o、小于、小于180o的角称为钝角； 等于的角称为钝角； 等于180o的角称为平角； 等于的角称为平角； 等于360o的角称为周角。 平面上，的角称为周角。 平面上，n边形的内角和为边形的内角和为()2180no（n3，n为自然数）为自然数） 第一讲 图形计数与几何 知识要点 小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班 第 1 讲 教师版 page 2 of 14 希望杯思维训练 希望杯思维训练 图形的对称 图形的对称 如果两个图形之间存在一条直线，以这条直线为轴，经过反射后，两个图形完全相同，则称这两个图 形轴对
4、称，或者简称对称，称这条直线为对称轴。如果一条直线将某个图形分为两个对称的图形，则称这 个图形是轴对称图形，或者简称为对称图形。 如果一个图形以某个点为中心旋转如果两个图形之间存在一条直线，以这条直线为轴，经过反射后，两个图形完全相同，则称这两个图 形轴对称，或者简称对称，称这条直线为对称轴。如果一条直线将某个图形分为两个对称的图形，则称这 个图形是轴对称图形，或者简称为对称图形。 如果一个图形以某个点为中心旋转no（no180o）后和原来的图形完全相同，称这个图形为）后和原来的图形完全相同，称这个图形为no旋转 对称图形，或者简称旋转对称，这个点称为对称中心。当旋转角度旋转 对称图形，或者简
5、称旋转对称，这个点称为对称中心。当旋转角度360180nk=+ooo（k为自然数） ，则 是中心对称图形。 为自然数） ，则 是中心对称图形。 图形计数 图形计数 1、图形规律问题分三步考虑：、图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。）缺失图形确定。 2、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。 3、图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。、图形计数的关
6、键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。 4、图形计数基本公式：、图形计数基本公式： 一条线段被分成一条线段被分成n个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为：个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为： ()1122n nn+=LL条。条。 两条共端点的射线确定一个角（大于两条共端点的射线确定一个角（大于0、小于、小于180） ，假设由某点引出） ，假设由某点引出n条射线（任意两条射线均不在同一直线上） ，那么这条射线（任意两条射线均不在同一直线上） ，那么这n条射线可以确定的角（大于条射线可以确定的角（大于0、小于、小于180）的个数为）的个
7、数为(1) 2n n 条。条。 网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。 一般的，一个长方形的长被分成一般的，一个长方形的长被分成n份，宽被分成份，宽被分成m份（份（nm，每小格均为相等的正方形） ，那么这个长方形中正方形的总数为：，每小格均为相等的正方形） ，那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mnnmnmnm+LL。 【例【例 1】 （】 （2009年年4月月12日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第试第
8、4题）如图是由题）如图是由25个 面积等于个 面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有的长方形有_个。 个。 【分析】61 623= =， 图中没有1 6的长方形；图中有()34224=个1 6的长方形； 图中面积是6的长方形有24个。 例题精讲 例题精讲 小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班 第 1 讲 教师版 page 3 of 14 希望杯思维训练 希望杯思维训练 【拓展】 （2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第10题）数一数：图中 共有_个正方形。 图2图1【分析】图1中正方形有443 322
9、1 130+ + =个；图2中正方形有221 15+ =个； 所以图中共有20525+=个正方形。 【例【例 2】 （】 （2008年年4月月13日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第试第11题）如图所示，这 是三个边长为题）如图所示，这 是三个边长为10厘米的正方形纸片。从（厘米的正方形纸片。从（1）和（）和（2）中各剪去一个面积是）中各剪去一个面积是4平方厘米的小正方 形，从（平方厘米的小正方 形，从（3）中剪去一个面积是）中剪去一个面积是4平方厘米的长方形。比较（平方厘米的长方形。比较（1） ， （） ， （2） ， （） ， （3
10、） ，剩下部分周长最 小的是 ） ，剩下部分周长最 小的是 （填图形编号） ，它的周长是 （填图形编号） ，它的周长是 厘米。 厘米。 41（3）（2）（1）【分析】图（1）的周长不变；图（2）的周长增加了224=厘米；图（3）的周长增加了428=厘米。 剩下部分周长最小的是图（1） ，它的周长是10440=厘米。 【拓展】 如图所示，共有16条线段，每2条相邻的线段都是互相垂直。为了计算出这个图形的周长，最少 要量出多少条线段的长度？ ABCDEFGHIJKLMNOPQR【分析】对于横向的线段，因为ABCDEFGHIJKLMNOP+=+， 所以()2ABCDEFGHIJKLMNOPABCDE
11、F+=+， 所以只需量出线段AB、CD、EF的长度， 就能算出AB、CD、EF、GH、IJ、KL、MN、OP的长度和。 对于纵向APNOBCQRLM+=+，FGDEQRJKHI=+， 所以APNOBCLMFGDEJKHI+=，APNODEJKHIBCLMFG+=+， 所以只需量出线段BC、LM、FG的长度。 最少量出AB、CD、EF、BC、LM、FG这6条线段的长度，就可以计算出这个图形的周长。 小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班 第 1 讲 教师版 page 4 of 14 希望杯思维训练 希望杯思维训练 【例【例 3】 （】 （2003年年4月月20日第一届小学“希望杯”全国数学
12、邀请赛四年级第日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第试第6题）将边长为题）将边长为a的正 方形各边中点连结成第二个正方形， 再将第二个正方形各边中点连结成第三个正方形， 依此规律， 继续下去，得到图。那么，边长为的正 方形各边中点连结成第二个正方形， 再将第二个正方形各边中点连结成第三个正方形， 依此规律， 继续下去，得到图。那么，边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的的正方形面积是图中阴影部分面积的_倍。 倍。 D1D2D3D4A1A2A3A4B4B3B2B1C4C3C2C1【分析】平面几何，巧求面积。 123412342A A A AB B B BSS=， 123412342
13、B B B BC C C CSS=， 123412342C C C CD D D DSS=， 12342D D D DSS=阴影， 123416A A A ASS=阴影，即边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的16倍。 【拓展】 （2007年4月15日第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第11题）如图，平行四 边形ABCD被分成三角形ADF和梯形ABCF两部分，它们的面积相差14平方厘米，已知7AE= 厘米，那么_FC =厘米。 ABCFEDDEFCBAGDEFCBAH【分析】平面几何，巧求面积。 （方法一）过点F作/FGAD，交AB于点G； ABCFADFBCFGAFGADFBC
14、FGSSSSSSFCAE=+=； 所以()1472ABCFADFFCSSAE=平方厘米。 （方法二）过点C作/CHAF，交AB于点H； ABCFADFAFCHBCHADFAFCHSSSSSSFCAE=+=； 所以()1472ABCFADFFCSSAE=平方厘米。 小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班 第 1 讲 教师版 page 5 of 14 希望杯思维训练 希望杯思维训练 【例【例 4】 （】 （2005年年4月月10日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第试第17题）将图中所示的 三角形题）将图中所示的 三角形ABC分成面积相
15、等的分成面积相等的4个部分，请给出个部分，请给出3种不同的分法。 种不同的分法。 【分析】图形分割。 方法一：将三角形的一条边四等分，并分别连接这条边相对的顶点； 方法二：画出一条边的中线，然后将中线二等分，连接中线的中点与另外两个顶点； 方法三：画出一条边的中线，分别连接这条边的这条中点与另外两边的中点； 方法四：分别连接各边中点； 答案如图所示，答案不惟一。 ABCABCABCABCABCABCCBA方法四方法三方法二方法一【拓展】 （2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第14题）用直线l把图分 成面积相等的两部分，画虚线的图给出了分法，其中正确的有_个。 llll【分析】平面几何。 正确的有第一、二、四个图形，所以正确的有3个。 【说明】过长方形的中心的直线把该长方形分成形状相同、大小相等的两个部分。 小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班 第 1 讲 教师版 page 6 of 14 希望杯思维训练 希望杯思维训练 【例【例 5】 （】 （2006年年4月月16日第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第日第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第试第12题）如图，用标号 为题）如图，用标号 为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和
