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1、 1高等数学过关与提高下册第八章习题答案高等数学过关与提高下册第八章习题答案 一、填空题一、填空题 1解：积分区域为解：积分区域为0 , 20| ),(2, 20| ),(yxyyxyxxyx=，故可交换积分次序计算如下：，故可交换积分次序计算如下： )1 (21) 1(21 214420200202202222=eeedyyedyedydyedxyyyyxy。 2解：积分区域为解：积分区域为 2, 10| ),(2yxyyyx 20 ,21 | ),(0 , 10| ),(22xyxyxxyxyx= ， 故可交换积分次序如下：故可交换积分次序如下： +=2222021010210),(),(
2、),(xxyydyyxfdxdyyxfdxdyyxfdy。 3解：令解：令sin,cos=yrx，则，则 +=+202221022sin1cos22) 1(drrrrdrdxdyyxD47 42)22(1033=+=+=drrrr。 4解：解：+=310110),min( yx Dydxdyxdydxdyx 34 31 23 31 21)3()1 (1010=+=+=dyyydxxx。 二、选择题二、选择题 1解：选（解：选（B） 。） 。 当当121+yx时， 有时， 有yxyxyx+)sin(0 , 0)ln(， 故， 故231III， 所以应选 （， 所以应选 （B） 。） 。 2解：选
3、（解：选（C） 。） 。 积分区域如图所示：积分区域如图所示： xy 1 2/2 2/2 y=x x2+ y2=1 2故故 =21220104 0),()sin,cos(yydxyxfdyrdrrrfd ， 所以应选（C） 。所以应选（C） 。 3解：选（解：选（C） 。） 。 积分区域积分区域 D 如图所示：如图所示： 对等式两边在对等式两边在 D 上积分，考虑到上积分，考虑到Ddudvvuf),(是常数，所以有是常数，所以有 +=DDDDdxdydudvvufxydxdydxdyyxf),(),(， 若令若令=DdxdyyxfI),(，则，则 +=DDdxdyIxydxdyI， 81 12
4、1 233112111104010010 22= = = dxxxdydxxydydxdxdyxydxdy IxxDD， 故故81),(+= xyyxf，所以应选（，所以应选（C） 。） 。 4解：选（解：选（D） 。） 。 可将积分区域分成两个对称的区域如下图：可将积分区域分成两个对称的区域如下图： +=+22212222 )1 ()1 ()1 ()(21)(21)(21DyxDyxDyxdxdyxeydxdyxeydxdyxey 1 O x y -1 y=x y=-x D1 D2 y=x2 yxD 1O 332)(2200120011=+=dyyydxdyydxdyyD。 故应选（故应选（
5、D） 。） 。 5解：选（解：选（D） 。） 。 由区域由区域 D 关于关于 y=x 对称可知对称可知 22)()()()( 2)()()(adadyfxfyfxfadyfxfxfaDDD=+=+， 22)()()()( 2)()()(bdbdyfxfyfxfbdyfxfxfbDDD=+=+， 故故222)()()()(babadyfxfyfbxfaD+=+=+，所以应选（，所以应选（D） 。） 。 三、解答题三、解答题 1解：利用极坐标变换计算：解：利用极坐标变换计算： ) 12ln2(411 411 21 211 1110102 221022 2 02222 =+=+=+=+ dtttdr
6、rrrdrrrddxdyyxyxD2解：积分区域如图所示：解：积分区域如图所示： = 23sin2022002sin38sin4sinddrrrdydydxydxdyD24)24cos12cos21 (324)22cos1(384222=+=dd。 3解：积分区域可分成两个对称区域如下：解：积分区域可分成两个对称区域如下： 2 O x -2 y -1 1 4+=+21 1)cos( 1)cos( 1)cos(222222DDDdyxyxdyxyxdyxyx 522032010=+=xDxdydxxd。 4解：把解：把 D 分为以下两个区域，这两个区域中被积函数定号：分为以下两个区域，这两个区域
7、中被积函数定号： 故故 +=+11|2|2|2|222222DDDDdyyxdyyxdyyx +=11)2()2(2222DDDdyyxdyyx +=20222sin220sin2020)sin2()sin2()sin2(rdrrrdrdrrrdrdrrrd+=24004)sin3164()sin34sin3164(sin34ddd 9)sin3164(sin382004=+=dd。 x2+y2-2y=0 y x2x2+y2=4 1 D1 D-D1 y=x3 y x1 y=-x3 1 D1 D2 55解：画出积分区域如下：解：画出积分区域如下： 则则+=+21)()()(222222DDDdy
8、yxdyyxdyyx +=+=2323cos202322020)cos8(31)sin1 (316)sin()sin(drdrrrdrdrrrd )cos(cossin)sin1 (38 31623232322+=dd )23(916 932 316)34(38 316=+=。 6解：积分区域如下：解：积分区域如下： 利用极坐标变换有利用极坐标变换有 +=+)cos(sin20434)cos(sin)(rdrrddxdyyxDy x2x2+y2=2(x+y) 1 x2+y2-2y=0 y x2x2+y2=4 1 D2 D1 6+=+=434444343)4(sin)2(38)cos(sin83
9、1)cos(sindd 4)4cos2cos23(38 424cos12cos21332sin3320004=+=+ =dtttdttt tdt。 7解：对二重积分作极坐标变换，则解：对二重积分作极坐标变换，则 + 122/0222limyxyxdxdyyxyfxf+= +12/ 2/ 1200)sin,cos(sin)sin,cos(coslim rdrrrrfrrrfrd +=+1/ 2/ 1200)sin,cos(sin)sin,cos(coslim drrrfrrfd =+1200)sin,cos(lim drrrrfd+=2010)sin,cos(limdrrf =+200)sin,
10、cos()sin,(coslimdff )sin,cos(2lim)sin,cos(0lim 0200 fdf=+（其中（其中在在 0 与与 2之间）之间） )0 , 0(2)sin,cos(lim2 0ff =+。 （由（由),(yxf有连续偏导数，故在（有连续偏导数，故在（0，0）连续）连续） 差误纠正差误纠正： 高等数学过关与提高 （下册）： 高等数学过关与提高 （下册）119 页倒数第页倒数第 4 行应为： “行应为： “7)0 , 0(2 f，提示：用极坐标计算； ”，提示：用极坐标计算； ” 8解：先对解：先对 z 积分后对积分后对 xy 积分，可知积分区域在积分，可知积分区域在
11、xoy 平面上的投影为平面上的投影为 0 ,20| ),(xxxyx， 积分区域介于平面积分区域介于平面 z=0 与与xz=2之间，故之间，故 =xxxDdzdyxxydxdzxxydxdydxdydzxxyxoy2 002 02 0sinsinsin21 4)2(sin21 21)2(sin2 02 0= dxxxxdxxxx。 9解：积分区域在解：积分区域在 xoy 平面上的投影为平面上的投影为 169| ),(22+yxyx， 7积分区域介于平面积分区域介于平面 z=0 与与22yxz+=之间，再利用柱面坐标变换，有之间，再利用柱面坐标变换，有 =+=+2220433200322322)
12、()(ryxDrdzdrrddzyxdxdydxdydzyxxoy 33367)34(61266=。 10解：利用球面坐标变换解：利用球面坐标变换 =+=cos1sinsincossinrzryrx计算，则计算，则 +=102020sin) 1sinsin(drrrddydv34sin32)sin31sinsin41( 00220=+=ddd。 11解：设整个均匀薄片的密度为解：设整个均匀薄片的密度为 1，接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为，接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为 a，并建立直 角坐标系如下：，并建立直 角坐标系如下： 由此薄片的重心为由此薄片的重心为 =DD dxd x， =DD dyd y，由题目条件可知有，由题目条件可知有0=x，0=y，即，即0= Dxd，0= Dyd，又由对称性，又由对称性0= Dxd显然成立，而显然成立，而 RaRaRdRydydxdrrrdyd aRRRD2320300032)0(212sin31sin=+=+=故故Ra32=，即接上去的均匀矩形薄片的另一边长度是，即接上去的均匀矩形薄片的另一边长度是R32。 R y x1 -a
